Яка кількість додаткового повітря (у см3) необхідна, щоб надути кульку, так що площа її поверхні збільшиться у 4 рази

Щоб вирішити цю задачу, нам потрібно спочатку з"ясувати, як змінюється площа поверхні кульки при надуванні.

Початкова площа поверхні кульки обчислюється за формулою:

\[S = 4\pi r^2\]

де \(S\) - площа поверхні кульки, \(\pi\) - число пі, а \(r\) - радіус кульки.

Ми хочемо знайти кількість додаткового повітря, яке необхідно, щоб площа поверхні збільшилась у 4 рази. Тобто, нам потрібно знайти наскільки зросте радіус кульки.

Якщо площа поверхні збільшиться в 4 рази, то формула для нової площі поверхні буде:

\[4S = 4\pi (r + x)^2\]

де \(x\) - зростання радіусу кульки.

Розкривши дужки та спрощуючи вираз, ми отримаємо:

\[4S = 4\pi (r^2 + 2rx + x^2)\]

Тепер ми можемо поділити обидві частини рівняння на 4\(\pi\) та спростити його:

\[S = r^2 + 2rx + x^2\]

Також ми знаємо, що початкова площа поверхні становить \(S\). Отже, ми можемо записати рівняння:

\[S = r^2 + 2rx + x^2\]

Тепер нам потрібно розв"язати це рівняння відносно \(x\).

Розкривши квадрат та складаючи подібні члени, ми отримаємо:

\[0 = x^2 + (2r)x + (r^2 - S)\]

Тепер ми можемо застосувати квадратне рівняння:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

де

\[a = 1\]
\[b = 2r\]
\[c = r^2 - S\]

Підставляючи значення, ми отримаємо два можливих значення для \(x\). Один з них буде від"ємним, що не має сенсу у нашому випадку, оскільки радіус не може бути негативним числом. Тому візьмемо лише позитивне значення:

\[x = \frac{-2r + \sqrt{(2r)^2 - 4(r^2 - S)}}{2}\]

Спрощуючи це вираження, ми отримаємо:

\[x = \frac{-2r + \sqrt{4r^2 - 4r^2 + 4S}}{2}\]
\[x = \frac{-2r + \sqrt{4S}}{2}\]
\[x = -r + \sqrt{S}\]

Отже, кількість додаткового повітря, яку необхідно, щоб площа поверхні кульки збільшилась у 4 рази, дорівнює \(-r + \sqrt{S}\) кубічних сантиметрів.