Яка є довжина сторони основи піраміди, якщо висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а бічне ребро

Для решения задачи, нам понадобится знание связи между высотой правильной четырехугольной пирамиды и длиной ее бокового ребра. Давайте разберемся пошагово.

1. Введем обозначения:
- \(H\) - высота пирамиды (8 см)
- \(BC\) - боковое ребро пирамиды
- \(ABCD\) - основа пирамиды
- \(\angle BAE\) - угол между боковым ребром \(BC\) и плоскостью основы \(ABCD\) (45 градусов)
- \(AE\) - высота пирамиды, опущенная из вершины \(A\) на плоскость основы

2. Зная, что пирамида является правильной, можем заметить, что треугольник \(BCD\) является равнобедренным.
- Так как \(BC = CD\), угол \(\angle BCD\) также равен 45 градусам.
- Таким образом, в треугольнике \(BCD\) у нас имеется два равных угла - по 45 градусов.

3. Воспользуемся геометрическими свойствами равнобедренного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, является биссектрисой угла при основании.
- Так как у нас угол \(\angle BCD = 45\) градусов, высота \(AE\) будет являться биссектрисой этого угла и будет делить его пополам.

4. Конструируем высоту \(AE\) и обозначим ее точкой \(F\), где \(F\) - точка пересечения высоты \(AE\) и стороны \(BC\).

5. По свойству биссектрисы угла, отрезок \(BF\) будет делить сторону \(BC\) на две равные части. То есть \(BF = FC\).

6. Окончательно, нам остается найти только длину отрезка \(BF\).

7. Так как у нас треугольник \(BFE\) является равнобедренным, мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти длину стороны \(BF\):
\[BF = \frac{{BC \cdot \cos(\angle BFE)}}{2}\]

8. Зная, что угол \(\angle BFE\) равен 45 градусам (так как это острый угол, и он равен углу \(\angle BAE\)), можем вычислить значение \(\cos(\angle BFE) = \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

9. Подставим все известные значения в формулу и рассчитаем длину стороны \(BF\):
\[BF = \frac{{BC \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}}{2} = \frac{{BC}}{{\sqrt{2}}}\]
Так как \(BF = FC\), то \(BC = BF + FC = BF + BF = 2 \cdot BF\).

10. Подставим найденное выражение для \(BC\) в выражение для высоты \(AE\):
\[AE = \sqrt{BF^2 + BC^2} = \sqrt{BF^2 + (2 \cdot BF)^2} = \sqrt{5 \cdot BF^2}\]

11. Нам известно, что \(AE\) равно 8 см, поэтому уравнение выше принимает вид:
\[8 = \sqrt{5 \cdot BF^2}\]

12. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[64 = 5 \cdot BF^2\]

13. Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти значение квадрата \(BF\):
\[BF^2 = \frac{64}{5}\]

14. Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим значение \(BF\):
\[BF = \sqrt{\frac{64}{5}}\]

15. Округлим ответ до второго знака после запятой:
\[BF \approx 5.06\]

Ответ: Длина стороны основы пирамиды приближенно равна 5.06 см.