Яка довжина сторон прямокутника, якщо бісектриса кута ділить одну зі сторін на два відрізки, а один з цих відрізків

Щоб знайти довжини сторін прямокутника, спочатку давайте уявимо задану ситуацію. Нехай AB - сторона прямокутника, яка ділиться бісектрисою кута на два відрізки, один з яких має довжину 5 см і позначається смужкою BE.

Використаємо властивість бісектриси кута: розділення сторони прямокутника на два відрізки відповідає розділенню протилежного кута на два однакових кути. Отже, кут ABE = кут ABЕ = кут ЕВА.

Оскільки прямокутник є прямокутним трикутником АВЕ, маємо певне співвідношення між сторонами. Використаємо теорему Піфагора для правого кута: сума квадратів довжин катетів (сторін, що граничать з прямим кутом) дорівнює квадрату довжини гіпотенузи (сторони, навпроти прямого кута).

У нашому випадку гіпотенузою є сторона прямокутника, позначена AB, катетами є сторони АВ та ВЕ. Тому застосуємо теорему Піфагора, отримаємо:

\[AB^2 = AV^2 + BE^2\]

Але ми знаємо, що один з відрізків BE має довжину 5 см, тому можемо записати:

\[AB^2 = AV^2 + 5^2\]

Також в завданні сказано, що один із відрізків, який ми позначаємо як AV, не є стороною прямокутника. Тому ми позначимо одну зі сторін прямокутника, яку ділить бісектриса, як CV.

Тепер можемо записати формулу для периметру прямокутника, використовуючи довжини сторін AB та CV:

\[2(AB + CV) = \text{периметр прямокутника}\]

Підставимо в неї знаходжене значення катета АВ:

\[2(AB + CV) = AB + CV + AB = 2AB + CV = \text{задане значення периметру прямокутника}\]

Таким чином, ми отримали систему рівнянь:

\[\begin{cases} AB^2 = AV^2 + 5^2 \\ 2AB + CV = \text{задане значення периметру прямокутника} \end{cases}\]

Можемо використати цю систему для знаходження значення сторін прямокутника. Наприклад, замінимо \(AV = AB - 2CV\) у першому рівнянні системи:

\[(AB - 2CV)^2 = AV^2 + 5^2\]

Розкриваємо квадрат, отримуємо:

\[AB^2 - 4AB \cdot CV + 4CV^2 = AV^2 + 25\]

З огляду на взаємопов"язаність сторін прямокутника, ми можемо розкласти перший рядок на два множники таким чином:

\[(AB - 2CV)(AB + 2CV) = AV^2 + 25\]

Тепер можемо підставити значення з першого рівняння в друге:

\[AB + CV + 2CV = \text{задане значення периметру прямокутника}\]

Отже, отримуємо систему рівнянь:

\[\begin{cases} (AB - 2CV)(AB + 2CV) = AV^2 + 25 \\ AB + CV + 2CV = \text{задане значення периметру прямокутника} \end{cases}\]

Далі застосовуємо різницю квадратів:

\[(AB^2 - (2CV)^2) = AV^2 + 25\]

Розкриваємо квадрати в рівнянні:

\[AB^2 - 4CV^2 = AV^2 + 25\]

Тепер віднімаємо \(AB^2\) з обох боків:

\[-4CV^2 = AV^2 + 25 - AB^2\]

Через те, що \(AV = AB - 2CV\), підставимо це значення в рівняння і отримаємо:

\[-4CV^2 = (AB - 2CV)^2 + 25 - AB^2\]

Скорочуємо подібні доданки та розкриваємо квадрат:

\[-4CV^2 = AB^2 + 4CV^2 - 4AB \cdot CV + 25 - AB^2\]

Спрощуємо рівняння:

\[0 = 4CV^2 - 4AB \cdot CV + 25\]

Поділимо обидві частини на 4:

\[0 = CV^2 - AB \cdot CV + \frac{25}{4}\]

Це квадратне рівняння щодо змінної CV. Ми можемо розв"язати його, використовуючи формулу дискримінанта.

Дискримінант D визначається так: \(D = b^2 - 4ac\), де a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння.

Пристосуємо цю формулу до нашого рівняння:

\[D = (-AB)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{25}{4}\]

Спрощуємо вираз:

\[D = AB^2 - ((-AB)^2 - 100)\]

Зводимо під знаком кореня:

\[D = AB^2 - AB^2 + 100\]

У нас отримується:

\[D = 100\]

Оскільки дискримінант додатній, то у квадратному рівнянні існують два різних розв"язки. Тобто, існують дві можливі довжини сторін прямокутника, що задовольняють умову.

Використовуючи формули дискримінанта, отримаємо два значення для CV:

\[CV = \frac{-(-AB) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1}\]

Скористаємося формулами розв"язків квадратного рівняння:

\[CV = \frac{AB \pm \sqrt{100}}{2}\]

\[\begin{cases} CV = \frac{AB + 10}{2} \\ CV = \frac{AB - 10}{2} \end{cases}\]

Таким чином, ми отримали дві формули для CV, залежно від знаку (плюс або мінус). Ці формули допоможуть знайти дві можливі довжини сторін прямокутника.

Далі, ми можемо підставити знайдене значення CV в друге рівняння системи:

\[AB + CV + 2CV = \text{задане значення периметру прямокутника}\]

Але перед цим, варто визначити, що означає "один з відрізків, який не є стороною прямокутника". Дякую!