Які відомі дані про прямокутний трикутник, в якому один із кутів дорівнює 60° та сума гіпотенузи та меншого катета

Дано, что в прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 54 см. Нам нужно найти длину треугольника.

Давайте обозначим длину меньшего катета как \(x\) и гипотенузы как \(y\). Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

\[x^2 + (x\sqrt{3})^2 = y^2\]

Раскроем скобку во втором слагаемом и упростим уравнение:

\[x^2 + 3x^2 = y^2\]
\[4x^2 = y^2\]

Также, согласно условию, сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 54 см, поэтому можем записать следующее уравнение:

\[x + y = 54\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases}
4x^2 = y^2 \\
x + y = 54
\end{cases}\]

Чтобы найти значения \(x\) и \(y\), решим эту систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения выразим \(x\) через \(y\), подставим его в первое уравнение:

\[4\left(\frac{(54-y)}{3}\right)^2 = y^2\]

Раскроем скобку и упростим выражение, чтобы получить квадратное уравнение:

\[4\left(\frac{2916-108y+y^2}{9}\right) = y^2\]
\[4(324-12y+y^2) = 9y^2\]
\[1296-48y+4y^2 = 9y^2\]
\[5y^2 - 48y + 1296 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя метод дискриминанта.

Дискриминант \(D\) для этого уравнения равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 5\), \(b = -48\), \(c = 1296\).

Подставим значения:

\[D = (-48)^2 - 4(5)(1296) = 2304 - 25920 = -23616\]

Так как дискриминант отрицательный, то у этого квадратного уравнения нет рациональных корней. Тем не менее, нам задан прямоугольный треугольник, поэтому длины его сторон должны быть положительными. Следовательно, наше уравнение не имеет решений для длин сторон треугольника.

Итак, мы не можем определить длину треугольника, так как данная система уравнений не имеет решений.