Яка є довжина радіуса вписаного кола у рівнобедреного трикутника з кутом 120° при вершині і бічною стороною?

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства равнобедренного треугольника и окружности, вписанной в него.

1. Свойство 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании (в твоем случае это угол 120°) равны между собой.

2. Свойство 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании является высотой и медианой этого треугольника.

3. Свойство 3: Вписанная окружность равнобедренного треугольника касается всех трех его сторон.

Теперь перейдем к решению задачи:

Представим равнобедренный треугольник, у которого вершина с углом 120° -- центр вписанной окружности. Обозначим радиус этой окружности как \(r\), а высоту треугольника, опущенную на основание (боковую сторону) как \(h\).

Поскольку высота является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника, она делит основание на две равные части. Значит, одна из этих частей равна \(h/2\).

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, половиной высоты и радиусом вписанной окружности. По теореме Пифагора, получаем:

\[(h/2)^2 + r^2 = (r + r)^2\]

\[(h/2)^2 + r^2 = 4r^2\]

\[(h/2)^2 = 3r^2\]

\[h^2 = 12r^2\]

\[h = \sqrt{12}r\]

Теперь нам нужно найти длину основания (боковую сторону) равнобедренного треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и углом между ними \(\theta\):

\[a^2 = b^2 + b^2 - 2bcos(\theta)\]

Поскольку равнобедренный треугольник имеет две равные стороны \(b\), мы можем записать:

\[a^2 = 2b^2 - 2bcos(\theta)\]

У нас уже есть значение угла \(\theta = 120°\) и мы знаем, что сторона треугольника равна \(h\) (высоте). Подставим эти значения в уравнение:

\[a^2 = 2(h/2)^2 - 2(h/2)cos(120°)\]

Пользуясь тригонометрическими соотношениями, можно упростить это уравнение:

\[a^2 = \dfrac{h^2}{2} + \dfrac{h^2}{2} + \dfrac{h^2}{2}\]

\[a^2 = \dfrac{3h^2}{2}\]

Теперь заменим \(h\) на \(\sqrt{12}r\):

\[a^2 = \dfrac{3(\sqrt{12}r)^2}{2}\]

\[a^2 = \dfrac{3 \cdot 12r^2}{2}\]

\[a^2 = \dfrac{36r^2}{2}\]

\[a^2 = 18r^2\]

\[a = \sqrt{18}r\]

Таким образом, мы получили, что длина основания (боковой стороны) равнобедренного треугольника составляет \(\sqrt{18}r\).

Ответ: Длина радиуса вписанного круга в равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и боковой стороной равна \(\sqrt{18}\) умножить на радиус этой окружности \(r\).