Яка є довжина перерізу, проведеного на відстані 2√15 см від центра сфери, який є в 4 рази меншим, ніж довжина великого

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые формулы и свойства. Давайте начнем.

Пусть \( r \) - радиус большой сферы, а \( d \) - длина перереза, проведенного на заданном расстоянии от центра сферы.

Из условия задачи известно, что длина перереза \( d \) равна 4 раза меньше длины большого круга этой сферы. То есть, мы можем записать следующее соотношение:

\[d = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r\]

Также, известно, что расстояние от центра сферы до перереза составляет \(2\sqrt{15}\) см. По свойству сферы, это расстояние равно радиусу сферы, минус расстояние от перереза до его центра. Мы можем записать это следующим образом:

\[2\sqrt{15} = r - \frac{d}{2}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными переменными \(r\) и \(d\). Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала выразим \(d\) из первого уравнения:

\[d = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[2\sqrt{15} = r - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2\pi r\]

Теперь, решим это уравнение относительно \(r\):

\[2\sqrt{15} = r - \frac{1}{8} \pi r\]

\[2\sqrt{15} = \frac{8r - \pi r}{8}\]

\[2\sqrt{15} = \frac{(8 - \pi) r}{8}\]

Теперь, выразим \(r\):

\[\frac{2\sqrt{15} \cdot 8}{8-\pi} = r\]

Таким образом, радиус этой сферы равен \(\frac{2\sqrt{15} \cdot 8}{8-\pi}\).

Теперь, найдем значение \(d\) с помощью первого уравнения:

\[d = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r\]

\[d = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot \frac{2\sqrt{15} \cdot 8}{8-\pi}\]

Найденные значения радиуса и длины перереза ответят на нашу исходную задачу.