Яка довжина меншої сторони прямокутника, якщо його діагональ має довжину 12см та перетинається під кутом 60°?

Для начала, посмотрим на связь диагонали прямоугольника и его сторон. Придадим имя прямоугольнику и его сторонам: пусть прямоугольник называется ABCD, а стороны обозначим как AB и BC.

Известно, что диагональ пямоугольника AC равна 12 см. Диагональ действует как гипотенуза треугольника ABC, образованного сторонами AB, BC и AC. Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником ABC, у которого гипотенуза равна 12 см.

Также в условии сказано, что диагональ пересекается с одной из сторон под углом 60°. Этот угол обозначим как α. Тогда у нас есть два треугольника, получившихся в результате пересечения диагонали с прямоугольником. Одним из них является прямоугольный треугольник ABC, а другим - треугольник ABD.

Для начала вычислим длину стороны AB. У нас есть два способа это сделать.

1. Первый способ:
Мы знаем, что в треугольнике ABC угол между гипотенузой и одной из катетов равен 60°. Это означает, что треугольник ABC является равносторонним. Таким образом, сторона AB имеет такую же длину, как и сторона AC. То есть, длина стороны AB равна 12 см.

2. Второй способ:
Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ABD. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Мы знаем, что один из катетов равен длине стороны AB, а гипотенуза равна 12 см. Таким образом, у нас есть уравнение: AB^2 + BD^2 = AC^2. Нам нужно найти длину AB, поэтому уравнение примет вид: AB^2 + BD^2 = 12^2.

Нам нужно продолжить и не забыть о факте, что сторона AB пересекается с диагональю под углом 60°. Это означает, что в треугольнике ABD есть ещё один угол, равный 30° (так как углы треугольника в сумме дают 180°). Зная угол и отрезок BD, можно вычислить отношение между BD и AB с помощью тригонометрии. В данном случае нам поможет соотношение тангенса угла. Тангенс угла равен отношению противоположного катета (BD) к прилежащему катету (AB). Таким образом, мы можем записать уравнение тангенса угла 30°: tan(30°) = BD/AB.

Теперь мы имеем систему уравнений:
AB^2 + BD^2 = 12^2,
tan(30°) = BD/AB.

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения длины стороны AB.

Ясно, что это формула и выражение, и они содержат числа, они не должны быть написаны курсивом:
Обозначим x = AB.

Теперь мы можем использовать второе уравнение для нахождения значения BD.
Так как tan(30°) = BD/AB, то BD = tan(30°) * AB.

Подставим значение BD в первое уравнение:
x^2 + (tan(30°) * x)^2 = 12^2.

Теперь решим это уравнение:
x^2 + (0,5774 * x)^2 = 144,
x^2 + 0,3333 * x^2 = 144,
1,3333 * x^2 = 144,
x^2 = 108,
x = \sqrt{108}.

Таким образом, длина стороны AB прямоугольника равна \sqrt{108} см.

Проверим ответ:
По формуле Пифагора, AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}.
AC = \sqrt{108 + 144}.
AC = \sqrt{252}.
AC \approx 15,874 \ \text{см}.

Как видно, значение AC не равно 12 см, что означает, что первый способ решения неправильный. Ответом будет \sqrt{108} см.

Таким образом, длина меншей стороны прямоугольника, если его диагональ имеет длину 12 см и пересекается под углом 60°, равна \sqrt{108} см.