Яка довжина дуги кола радіусом 3 см, яка складає 2/3 від загальної довжини кола?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для длины дуги \( L \). Формула для длины дуги кола задается следующим образом:

\[ L = 2\pi r \times \frac{\theta}{360^\circ}, \]

где \( r \) - радиус окружности, а \( \theta \) - центральный угол, определяющий длину дуги в градусах.

Дано, что данная дуга кола составляет 2/3 от общей длины кола. Пусть общая длина кола равна \( L_{\text{кола}} \). Тогда длина данной дуги равна \( \frac{2}{3} \times L_{\text{кола}} \).

Так как длина дуги равняется \( L = 2\pi r \times \frac{\theta}{360^\circ} \), то

\[ \frac{2}{3} \times L_{\text{кола}} = 2\pi \times 3 \times \frac{\theta}{360^\circ}. \]

Давайте найдем значение \( \theta \). Разделим обе части уравнения на \( 2\pi \times 3 \):

\[ \frac{2}{3} \times L_{\text{кола}} = \frac{\theta}{360^\circ}. \]

Теперь умножим обе части на \( 360^\circ \):

\[ 360^\circ \times \frac{2}{3} \times L_{\text{кола}} = \theta. \]

Теперь заменим значение \( L_{\text{кола}} \) на формулу для длины окружности:

\[ 360^\circ \times \frac{2}{3} \times 2\pi r = \theta. \]

Упростим это уравнение:

\[ 240\pi r = \theta. \]

Итак, мы получили, что значение \( \theta \) равно \( 240\pi r \).

Теперь мы можем записать длину данной дуги кола в функции радиуса \( r \):

\[ L = 2\pi r \times \frac{\theta}{360^\circ} = 2\pi r \times \frac{240\pi r}{360^\circ} = \frac{4\pi^2 r^2}{3}. \]

Теперь, чтобы найти длину данной дуги кола, нам нужно подставить значение радиуса \( r = 3 \) см в эту формулу:

\[ L = \frac{4\pi^2 (3\,\text{см})^2}{3}. \]

Вычисляя эту формулу, получаем:

\[ L \approx 37.7\,\text{см}. \]

Таким образом, длина данной дуги кола радиусом 3 см, составляющей 2/3 от общей длины кола, примерно равна 37,7 см.