Яка довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника з кутом при вершині 30 градусів, якщо його площа становить

Давайте решим эту задачу пошагово.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]

где \( a \) - основание треугольника, \( h \) - высота треугольника.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то еще одна сторона будет равна \( a \), а высота будет опущена из вершины треугольника до основания и также будет равна биссектрисе.

Теперь, пользуясь формулой, мы имеем:

\[ 36 = \frac{1}{2} \times a \times h \]

Так как высота треугольника - биссектриса, она делит основание пополам, создавая два прямоугольных треугольника. Из этих двух прямоугольных треугольников мы можем получить отношение между высотой и основанием:

\[ \tan 30^\circ = \frac{h/2}{a} \]

Тангенс угла 30 градусов равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Решая уравнение относительно \( h/2 \), получим:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h/2}{a} \]

Умножим обе части уравнения на \( \frac{2}{\sqrt{3}} \), чтобы избавиться от дроби:

\[ \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h/2}{a} \times \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Упростим:

\[ \frac{2}{3} = \frac{h}{a} \]

Теперь мы можем заменить \( \frac{h}{a} \) в нашем первоначальном уравнении для площади:

\[ 36 = \frac{1}{2} \times a \times \frac{2}{3} \times a \]

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы упростить выражение:

\[ 36 = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2}{3} \times a^2 \]

\[ 36 = \frac{2}{3} \times a^2 \]

Теперь можно избавиться от дроби, умножив обе части уравнения на 3:

\[ 36 \times 3 = \frac{2}{3} \times a^2 \times 3 \]

\[ 108 = 2a^2 \]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \frac{108}{2} = \frac{2a^2}{2} \]

\[ 54 = a^2 \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[ \sqrt{54} = \sqrt{a^2} \]

\[ a = \sqrt{54} \]

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника со стороной при вершине 30 градусов и площадью 36 см² составляет \( \sqrt{54} \) см. Мы также можем упростить это значение, так как \( \sqrt{54} = \sqrt{9} \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6} \) см.