Яка є довша сторона паралелограма, якщо його діагоналі мають довжини 6√2см та 2см, а кут між ними становить 45°?

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов. Пусть стороны параллелограмма обозначены как \(a\) и \(b\), а диагонали -- \(d_1\) и \(d_2\).

Мы знаем, что угол между диагоналями составляет 45°, и длины диагоналей равны 6√2 см и 2 см соответственно. Давайте применим теорему косинусов для треугольника, образованного диагоналями и стороной параллелограмма.

Согласно теореме косинусов, можно записать:
\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\Theta\]
\[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180° - \Theta)\]

Учитывая, что угол между диагоналями равен 45°, мы можем записать:
\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 45°\]
\[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 135°\]

Упростим формулы, заменив значения угла косинусов:
\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Известны значения диагоналей:
\[6√2 = \sqrt{a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}}\]
\[2 = \sqrt{a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[72 = a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}\]
\[4 = a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}\]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными. Давайте решим ее и найдем значения сторон \(a\) и \(b\).

Из первого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(b\):
\[a = \frac{72 - b^2}{b\sqrt{2}}\]

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:
\[4 = \left(\frac{72 - b^2}{b\sqrt{2}}\right)^2 + b^2 + \frac{72 - b^2}{b\sqrt{2}} \cdot b\sqrt{2}\]

После упрощения и приведения подобных членов, мы получим следующее уравнение:
\[4 = \frac{72^2 - 2b^2(72 - b^2) + b^2(72 - b^2)}{2b^2}\]

Умножим обе части уравнения на \(2b^2\) для избавления от знаменателя:
\[8b^2 = 72^2 - 2b^2(72 - b^2) + b^2(72 - b^2)\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[8b^2 = 72^2 - 144b^2 + 2b^4 + 72b^2 - b^4\]

Сократим члены и приведем квадратные члены в одну группу:
\[b^4 - 56b^2 + 72^2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение для неизвестной \(b\). Решим его с помощью квадратного корня:
\[b^2 = \frac{56 \pm \sqrt{56^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72^2}}{2}\]

После вычислений получим два возможных значения для \(b\): \(b_1 = -16\) и \(b_2 = 16\). Так как негативное значение стороны не может быть длиной, мы выбираем положительное значение \(b_2 = 16\).

Теперь, когда у нас есть значение для \(b\), мы можем вычислить \(a\) с помощью первого уравнения:
\[a = \frac{72 - b^2}{b\sqrt{2}}\]

Подставляем \(b_2 = 16\) в это уравнение:
\[a = \frac{72 - 16^2}{16\sqrt{2}} = \frac{72 - 256}{16\sqrt{2}}\]

После упрощения получаем:
\[a = \frac{-184}{16\sqrt{2}} = -\frac{23}{2\sqrt{2}} = -\frac{23\sqrt{2}}{4}\]

Так как значение \(a\) отрицательно, мы можем игнорировать знак и взять абсолютное значение. Поэтому длина более длинной стороны параллелограмма равна \(\frac{23\sqrt{2}}{4}\) см.

Ответ: Длина более длинной стороны параллелограмма составляет \(\frac{23\sqrt{2}}{4}\) см.