Яка буде зміна положення краплі ртуті у вертикальній запаяній знизу трубці при зміні температури від 7

Задача:

Розмір трубки поглибльено на 0.4 мм толщини.

Для вирішення цієї задачі ми використаємо закон пропорційності між зміною об"єму тіла і його лінійним розширенням. Закон можна записати наступним чином:

\[\frac{{\Delta V}}{{V}} = \alpha \cdot \Delta T\]

де \(\Delta V\) - зміна об"єму тіла, \(V\) - початковий об"єм тіла, \(\alpha\) - коефіцієнт лінійного розширення тіла, \(\Delta T\) - зміна температури.

В нашому випадку, початковий об"єм тіла \(V\) - це об"єм ртути у трубці при початковій температурі. Зміна об"єму тіла \(\Delta V\) - це різниця об"єму ртути після зміни температури та початкового об"єму. Отже, ми маємо:

\[\Delta V = V - V_0\]

де \(V_0\) - початковий об"єм ртути.

Підставляючи це у формулу закону пропорційності, отримуємо:

\[\frac{{V - V_0}}{{V}} = \alpha \cdot \Delta T\]

На задачу надається таке уточнення:

\(V_0 = \pi \cdot r_0^2 \cdot h\) - початковий об"єм ртути, де \(r_0\) - радіус трубки, \(h\) - висота ртути в трубці.

Тепер ми можемо продовжити, враховуючи це уточнення:

\[\frac{{\pi \cdot r^2 \cdot h - \pi \cdot r_0^2 \cdot h}}{{\pi \cdot r^2 \cdot h}} = \alpha \cdot \Delta T\]

Зведемо більшість дробу до спільного знаменника:

\[\frac{{r^2 - r_0^2}}{{r^2}} = \alpha \cdot \Delta T\]

Тепер ми можемо спростити дріб, використовуючи степіні:

\[\frac{{(r - r_0) \cdot (r + r_0)}}{{r^2}} = \alpha \cdot \Delta T\]

Продовжуючи спрощувати, ми отримуємо такий вигляд формули:

\[(1 - \frac{{r_0^2}}{{r^2}}) = \alpha \cdot \Delta T\]

Тепер ми можемо знайти зміну положення краплі ртуті у вертикальній запаяній знизу трубці, яка однакова із змінюваною висотою ртути після зміни температури. Запишемо це в рівнянні:

\[\Delta h = h - h_0\]

де \(h\) - початкова висота ртути в трубці, \(h_0\) - висота ртути після зміни температури.

Знаючи формулу для визначення об"єму ртути \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\), ми можемо записати формулу для зміни висоти ртути:

\[\Delta h = (\frac{{V_0}}{{\pi \cdot r_0^2}} - \frac{{V}}{{\pi \cdot r^2}})\]

Знаючи, що \(\frac{{r_0^2}}{{r^2}} = 1 - \alpha \cdot \Delta T\) , ми можемо підставити це значення у формулу для зміни висоти та отримати розв"язок:

\[\Delta h = \frac{{V_0}}{{\pi \cdot r_0^2}} - \frac{{V}}{{\pi \cdot r^2}} = \frac{{h - h \cdot (1 - \alpha \cdot \Delta T)}}{{h}} = \alpha \cdot \Delta T \cdot h\]

Таким чином, зміна положення краплі ртуті у вертикальній запаяній знизу трубці при зміні температури від 7°C до буде рівна \(\alpha \cdot \Delta T \cdot h\), де \(\alpha\) - коефіцієнт лінійного розширення тіла, \(\Delta T\) - зміна температури, \(h\) - початкова висота ртути в трубці.