Якa буде сума площ квадратів, побудованих на двох частинах відрізка завдовжки 12 см, які розділені таким чином

Чтобы решить данную задачу, нам нужно разделить отрезок на две части равной длины и построить квадрат на каждой из этих частей. Мы хотим, чтобы сумма площадей этих двух квадратов была как можно меньше.

Пусть длина каждой из этих частей будет равной \(x\) см. Тогда длина второй части также будет \(x\) см.

Площадь каждого квадрата вычисляется по формуле: \(S = x^2\), где \(S\) - площадь квадрата, а \(x\) - его сторона.

Итак, нам нужно найти сумму площадей этих двух квадратов: \(S_{\text{сумма}} = x^2 + x^2 = 2x^2\).

Мы хотим минимизировать сумму площадей, поэтому нам нужно найти значение \(x\), при котором \(S_{\text{сумма}}\) будет минимальным.

Для этого мы можем использовать первую производную, чтобы найти точку экстремума. Берем производную \(S_{\text{сумма}}\) по \(x\):

\(\frac{dS_{\text{сумма}}}{dx} = 4x\).

Приравниваем производную к нулю и находим значение \(x\):

\(4x = 0\).

Отсюда получаем, что \(x = 0\).

Однако, такое значение \(x\) не имеет смысла в данной задаче. Мы не можем иметь отрезок нулевой длины.

Следовательно, мы должны исключить этот случай и рассмотреть другие возможности.

Так как у нас есть отрезок длиной 12 см, мы можем выбрать любое значение длины, которое будет лежать в интервале от 0 до 12 см.

Давайте рассмотрим следующий случай: пусть первая часть отрезка имеет длину 6 см, тогда вторая часть также будет иметь длину 6 см.

Сумма площадей будет:

\(S_{\text{сумма}} = (6^2) + (6^2) = 36 + 36 = 72\) квадратных сантиметра.

Теперь рассмотрим другой случай: пусть первая часть отрезка имеет длину 5 см, тогда вторая часть будет иметь длину 7 см.

Сумма площадей будет:

\(S_{\text{сумма}} = (5^2) + (7^2) = 25 + 49 = 74\) квадратных сантиметра.

Мы видим, что сумма площадей увеличилась.

Продолжая подбирать значения для длины отрезков, мы можем заметить, что чем больше отрезок делится на две равные части, тем больше будет сумма площадей квадратов.

Таким образом, чтобы сумма площадей была как можно меньшей, отрезок должен быть разделен на две части так, чтобы эти части имели разную длину.

В данной задаче, чтобы сумма площадей была минимальной, одну часть отрезка должно быть равной 0 см, а другая часть - равной 12 см.

Таким образом, сумма площадей квадратов будет равна:

\(S_{\text{сумма}} = (0^2) + (12^2) = 0 + 144 = 144\) квадратных сантиметра.

Итак, минимальная сумма площадей квадратов, построенных на двух частях отрезка длиной 12 см и разделенных таким образом, будет равна 144 квадратным сантиметрам.