Як знайти площу трикутника АВС, якщо пряма, паралельна стороні АС трикутника АВС, перетинає сторону АВ у точці М

Для нахождения площади треугольника АВС, основное, что нам понадобится, это длины его сторон. В данном случае, мы знаем, что прямая МК параллельна стороне АС. Также нам дано, что МА = 4 см и ВК = 3 см.

Давайте разберемся, как найти длины остальных сторон треугольника. Обозначим длину стороны АК через х.

Так как МК параллельна стороне АС и пересекает сторону АВ в точке М, то по теореме Талле:

\[\frac{{МА}}{{АВ}} = \frac{{МК}}{{ВС}}\]

Подставим известные значения: \[\frac{{4}}{{АВ}} = \frac{{МК}}{{ВС}}\]

А также учтем, что ВК = ВС - КС:
\[\frac{{4}}{{АВ}} = \frac{{МК}}{{ВС - КС}}\]

Далее, посмотрим на треугольник МАК. Он прямоугольный, так как прямая МК параллельна стороне АС и пересекает сторону АВ в точке М. Мы знаем, что МА = 4 см, МК = х и ВК = 3 см. Тогда по теореме Пифагора:

\[\МП^2 + ПК^2 = МК^2\]

Заменим известные значения: \[\4^2 + ПК^2 = х^2\]

Используя полученное равенство, мы можем выразить х через остальные известные величины:

\[\16 + ПК^2 = х^2\]

Теперь, используя полученное значение х, мы можем найти длины оставшихся сторон треугольника. Сторона АС равна МА + ВК:

\[\АС = МА + ВК = 4 + 3 = 7\]

Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, можем приступить к вычислению его площади. Для этого, воспользуемся формулой Герона:

\[\S = \sqrt{p(p - АВ)(p - АС)(p - ВС)}\]

Где p - полупериметр треугольника, который мы можем найти по формуле:

\[p = \dfrac{{АВ + АС + ВС}}{2}\]

Подставим известные значения в формулы:

\[p = \dfrac{{АВ + АС + ВС}}{2} = \dfrac{{4 + 7 + 3}}{2} = 7\]

Теперь, найдем площадь треугольника:

\[\S = \sqrt{p(p - АВ)(p - АС)(p - ВС)} = \sqrt{7(7 - 4)(7 - 7)(7 - 3)} = \sqrt{84} \approx 9.165\]

Итак, площадь треугольника АВС составляет около 9.165 квадратных сантиметров.