Як знайти довжину сторони правильного трикутника, який охоплює це коло, яке вписано в квадрат зі стороною 6√2, у 9-му

Для розв"язання цієї задачі, нам знадобиться знання про вписаний і описаний трикутники навколо кола, а також про відношення між радіусом кола і сторонами трикутника.

Перед тим, як перейти безпосередньо до розв"язання, давайте обговоримо, які фігури ми маємо. Ми маємо квадрат зі стороною \(6\sqrt{2}\), в який буде вписане коло. Це означає, що коло буде касатися всіх сторін квадрата. Також, коло описується правильним трикутником, що означає, що вершини трикутника будуть дотикатися кола.

Перш ніж шукати довжину сторони трикутника, знайдемо радіус кола. Для цього скористаємося формулою, що пов"язує радіус кола зі стороною квадрата:

\[ \text{Радіус кола} = \frac{\text{Сторона квадрата}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

Так як ми знаємо, що трикутник є правильним, усі його сторони мають однакову довжину. Позначимо цю довжину як \(x\). Тоді довжина однієї сторони трикутника буде \(x\).

Поставимо собі питання: Які відношення існують між радіусом кола, стороною квадрата і стороною трикутника?

Для розв"язання цього питання використаємо теорему Піфагора для підтримки наших міркувань. У правильному трикутнику, медіана, проведена до основи, є висотою, бісектрисою і медіаною одночасно. Тому, довжина медіани трикутника дорівнює половині довжини сторони трикутника, тобто \(\frac{x}{2}\).

Знаючи радіус кола (тобто медіану трикутника), можна скористатися теоремою Піфагора для знаходження сторони трикутника:

\[ x^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(3\sqrt{2}\right)^2 \]

\[ x^2 = \frac{x^2}{4} + 18 \]

Переведемо це рівняння до рівняння з однією невідомою:

\[ \frac{3x^2}{4} = 18 \]

\[ 3x^2 = 72 \]

\[ x^2 = \frac{72}{3} \]

\[ x^2 = 24 \]

\[ x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Таким чином, довжина сторони правильного трикутника, який охоплює вписане коло в квадраті зі стороною \(6\sqrt{2}\), дорівнює \(2\sqrt{6}\).