Какова площадь полной поверхности цилиндра, если сечение, параллельное его оси, отделяет от окружности основания дугу

Хорошо, посчитаем площадь полной поверхности цилиндра с заданными данными. Для начала, нам понадобится найти радиус и высоту цилиндра.

Обратимся к сечению, параллельному оси цилиндра. Мы знаем, что расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра равно 4 см. Это означает, что расстояние от центра основания цилиндра до плоскости сечения также равно 4 см.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный плоскостью сечения и диагональю этого сечения. Мы знаем, что угол между диагональю и осью цилиндра составляет 45º. Используя геометрические соображения, можно увидеть, что этот треугольник является прямоугольным.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 4 см и углом между гипотенузой и одним из катетов, составляющим 45º.

Используя тригонометрический тангенс, мы можем найти длину основания цилиндра (катет треугольника). Тангенс угла 45º равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

\[\tan(45º) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

Мы знаем, что противолежащий катет равен половине длины дуги, отделяющейся от окружности основания цилиндра. Так как дуга составляет 60º, то угол, отделяемый от дуги, составляет половину этого значения, то есть 30º.

\[\tan(45º) = \frac{{\text{{половина длины дуги}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

Теперь мы можем выразить половину длины дуги (противолежащий катет) через неизвестную радиуса \(r\).

\[\tan(45º) = \frac{{\frac{{\pi r}}{{6}}}}{{4}}\]

Решая это уравнение, мы можем найти неизвестную радиуса.

\[\frac{{\pi r}}{{6}} = 4 \cdot \tan(45º)\]
\[r = \frac{{6 \cdot 4 \cdot \tan(45º)}}{{\pi}}\]

Теперь, когда у нас есть радиус цилиндра, мы можем найти его высоту. Высота цилиндра равна расстоянию от плоскости сечения до верхней крышки цилиндра.

Мы можем найти это расстояние, используя связь между радиусом и углом дуги, отделяющейся от окружности основания. Поскольку у нас уже есть угол 30º и радиус \(r\), мы можем использовать тригонометрический синус для нахождения расстояния.

\[\sin(30º) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Мы знаем, что противолежащий катет равен половине длины дуги, отделяющейся от окружности основания цилиндра.

\[\sin(30º) = \frac{{\frac{{\pi r}}{{6}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Решая это уравнение, мы можем найти неизвестную гипотенузу, которая является расстоянием от плоскости сечения до верхней крышки цилиндра.

\[\frac{{\pi r}}{{6}} = \text{{гипотенуза}} \cdot \sin(30º)\]

Теперь мы знаем длину гипотенузы, и можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты цилиндра (\(h\)).

\[h^2 = \text{{гипотенуза}}^2 - (\text{{противолежащий катет}})^2\]
\[h^2 = (\text{{гипотенуза}} \cdot \cos(30º))^2 - (\text{{противолежащий катет}})^2\]
\[h = \sqrt{(\text{{гипотенуза}} \cdot \cos(30º))^2 - (\text{{противолежащий катет}})^2}\]

Теперь, когда у нас есть радиус (\(r\)) и высота (\(h\)) цилиндра, мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению периметра основания цилиндра (\(P\)) на высоту цилиндра (\(h\)).

Периметр основания цилиндра можно найти по формуле: \(P = 2 \cdot \pi \cdot r\).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна: \(S_{\\text{бок}} = P \cdot h\).

Площадь двух оснований цилиндра равна: \(S_{\\text{осн}} = 2 \cdot \pi \cdot r^2\).

Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований:

\[S_{\\text{полн}} = S_{\\text{бок}} + S_{\\text{осн}}\]

Давайте вычислим все значения и найдем итоговый результат.