Як знайти довжину медіани, проведеної з вершини С трикутника АВС з координатами вершин А (-2; 0; 1), В (8; -4; 9

Хорошо, чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины "С" треугольника "АВС", нам необходимо использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Давайте начнем с нахождения координат точки пересечения медиан. Медианы пересекаются в точке, называемой центром тяжести, которая является средним значением координат вершин треугольника.

Для этого, сложим координаты вершин треугольника по каждому измерению и разделим на 3:

\[X_с = \frac{{X_а + X_в + X_с}}{3}\]
\[Y_с = \frac{{Y_а + Y_в + Y_с}}{3}\]
\[Z_с = \frac{{Z_а + Z_в + Z_с}}{3}\]

Вставляя значения, получаем:

\[X_с = \frac{{-2 + 8 - 1}}{3} = \frac{5}{3}\]
\[Y_с = \frac{{0 - 4 + 5}}{3} = \frac{1}{3}\]
\[Z_с = \frac{{1 + 9 - 3}}{3} = \frac{7}{3}\]

Теперь у нас есть координаты точки центра тяжести: \(C\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)\).

Далее, нам нужно найти расстояние между точками \(C\) и \(S\) с помощью формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Вставляя значения, получаем:

\[d = \sqrt{{\left(\frac{5}{3} - (-1)\right)^2 + \left(\frac{1}{3} - 5\right)^2 + \left(\frac{7}{3} - (-3)\right)^2}}\]
\[d = \sqrt{{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(-\frac{14}{3}\right)^2 + \left(\frac{16}{3}\right)^2}}\]

Теперь вычислим это:

\[d = \sqrt{{\frac{64}{9} + \frac{196}{9} + \frac{256}{9}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{516}{9}}}\]
\[d = \frac{{\sqrt{516}}}{3}\]

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины "С" треугольника "АВС", равна \(\frac{{\sqrt{516}}}{3}\). Ответ округляем до нужного количества знаков после запятой согласно условиям задачи.