Как можно решить вопрос о параллельности плоскостей?

Как школьник, тебе может быть полезен следующий подход для решения вопроса о параллельности плоскостей.

1. Понятие параллельных плоскостей:
Две плоскости считаются параллельными, если они никогда не пересекаются и сохраняют одинаковое расстояние между собой в любой точке.

2. Сравнение нормальных векторов:
Нормальный вектор каждой плоскости - это вектор, перпендикулярный плоскости и указывающий в направлении от нее. Для параллельных плоскостей нормальные векторы должны быть коллинеарными, то есть сонаправленными или противоположно направленными.

3. Шаги для проверки параллельности:

а) Найди параметрические уравнения обеих плоскостей. Они будут иметь вид:
Плоскость 1: \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\)
Плоскость 2: \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\)

б) Вырази нормальные векторы обеих плоскостей. Для этого нужно взять коэффициенты перед \(x\), \(y\) и \(z\) в каждом уравнении плоскости. Например, нормальный вектор плоскости 1 будет иметь вид:
\(\vec{n_1} = \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \end{bmatrix}\)

в) Сравни нормальные векторы плоскостей. Для этого проверь, коллинеарны ли они. Если нормальные векторы коллинеарны или противоположно направлены, то плоскости параллельны друг другу.

4. Пример:
Допустим, имеем две плоскости:
Плоскость 1: \(2x - 3y + 4z - 5 = 0\)
Плоскость 2: \(4x - 6y + 8z + 2 = 0\)

а) Параметрические уравнения плоскостей:
Плоскость 1: \(x = \frac{3}{2}y - 2z + \frac{5}{2}\)
Плоскость 2: \(x = \frac{3}{2}y - 2z - \frac{1}{4}\)

б) Нормальные векторы:
\(\vec{n_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}\)
\(\vec{n_2} = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix}\)

в) Сравниваем нормальные векторы:
\(\vec{n_1} = 2\vec{n_2}\), т.е. они коллинеарны.

Таким образом, плоскости 1 и 2 параллельны.

Надеюсь, этот пошаговый подход поможет тебе понять, как решать задачи о параллельности плоскостей. Если у тебя есть дополнительные вопросы, не стесняйся задавать. Я всегда готов помочь!