Як розкладувати вираз tg(10°)+tg(50°)×sqrt(3)×tg(10°)×tg(50°)​ на прості доданки?

Чтобы разложить выражение \( tg(10^\circ) + tg(50^\circ) \times \sqrt{3} \times tg(10^\circ) \times tg(50^\circ} \) на простые слагаемые, нам понадобится знание некоторых тригонометрических тождеств и формул.

Давайте начнем с разложения \( tg(x + y) \) на сумму тангенсов:

\[ tg(x + y) = \frac{{tg(x) + tg(y)}}{{1 - tg(x) \cdot tg(y)}} \]

У нас есть выражение \( tg(10^\circ) + tg(50^\circ) \times \sqrt{3} \times tg(10^\circ) \times tg(50^\circ)} \). Давайте обозначим \( x = tg(10^\circ) \) и \( y = tg(50^\circ) \):

\[ tg(10^\circ) + tg(50^\circ) \times \sqrt{3} \times tg(10^\circ) \times tg(50^\circ) = x + y \times \sqrt{3} \times x \times y \]

Теперь мы можем использовать тождество \( tg(x + y) \), чтобы разложить это выражение. Подставим \( x = tg(10^\circ) \) и \( y = tg(50^\circ) \):

\[ x + y \times \sqrt{3} \times x \times y = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} \]

Таким образом, мы можем разложить исходное выражение на простые слагаемые следующим образом:

\[ tg(10^\circ) + tg(50^\circ) \times \sqrt{3} \times tg(10^\circ) \times tg(50^\circ) = \frac{{tg(10^\circ) + tg(50^\circ)}}{{1 - tg(10^\circ) \times tg(50^\circ)}} \]

Пожалуйста, обратите внимание, что данное разложение основывается на известных тригонометрических формулах и тождествах, что позволяет нам упростить выражение до простых слагаемых.