Як можна показати, що якщо площини a, b і c не перетинаються у жодній точці, то площини a паралельна площині

Щоб показати, що площини a, b і c не перетинаються у жодній точці, ми можемо скористатися властивостями паралельних прямих у просторі і векторного добутку.

Повернімося до базових властивостей векторного добутку. Векторний добуток \(\vec{u} \times \vec{v}\) двох векторів \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\) є вектор, перпендикулярний до обох векторів \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\).

Зауважимо, що кожна площина може бути описана векторами, паралельними до неї. Таким чином, площина a буде описана вектором \(\vec{u}\), площина b - вектором \(\vec{v}\), а площина c - вектором \(\vec{w}\).

Якщо площини a, b і c не перетинаються у жодній точці, це означає, що вектори \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) і \(\vec{w}\) не лежать в одній площині і не колінеарні. Тобто, \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) і \(\vec{w}\) лінійно незалежні.

Тепер ми можемо утверджувати, що площина a паралельна площині b і паралельна площині c.

Для цього розглянемо векторний добуток \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\). Якщо цей векторний добуток дорівнює нулю, тобто \(\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}\), то це означає, що вектори \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\) паралельні.

Аналогічно, розглянемо векторний добуток \(\vec{u}\) і \(\vec{w}\). Якщо цей векторний добуток дорівнює нулю, тобто \(\vec{u} \times \vec{w} = \vec{0}\), то це означає, що вектори \(\vec{u}\) і \(\vec{w}\) паралельні.

Таким чином, якщо площини a, b і c не перетинаються у жодній точці, то векторні добутки \(\vec{u} \times \vec{v}\) і \(\vec{u} \times \vec{w}\) дорівнюють нулевому вектору, що означає, що площина a паралельна площині b і паралельна площині c.

Таким чином, ми показали, що якщо площини a, b і c не перетинаються у жодній точці, то площина a паралельна площині b і паралельна площині c.

Схематично це можна зобразити так:

\[ a \parallel b \parallel c \]