Як довести, що паралелограм ABCD є ромбом, якщо пряма MB перпендикулярна до площини паралелограма, а MD перпендикулярна

Щоб довести, що паралелограм ABCD є ромбом, нам потрібно використовувати деякі властивості ромба та з"єднати їх з наданою інформацією.

1. Дано: Паралелограм ABCD, пряма MB перпендикулярна до площини паралелограма, MD перпендикулярна до прямої AB.

2. За визначенням, ромб - це паралелограм, в якого всі сторони мають однакову довжину.

3. Покажемо, що сторони паралелограма ABCD мають однакову довжину. Оскільки MD перпендикулярна до прямої AB, то відповідні кути AMB та BMD праві. Оскільки MB перпендикулярна до площини паралелограма, то можемо стверджувати, що пряма MB також перпендикулярна до прямої BC.

4. За властивостями паралелограма, протилежні сторони паралелограма AB і CD мають однакову довжину, тому AB = CD.

5. Далі, оскільки MB перпендикулярна до BC, отримуємо прямокутний трикутник MBC. За теоремою Піфагора, в квадраті гіпотенузи (BC) дорівнює сумі квадратів катетів (BM і MC): BC² = BM² + MC².

6. Аналогічно, MD перпендикулярна до AB, отримуємо прямокутний трикутник MAD, з відомим MA = MD. Його гіпотенуза AD також сполучена з катетами MD і MA за теоремою Піфагора: AD² = MD² + MA².

7. Зауважимо, що катет BM в квадраті рівний катету MD в квадраті (BM² = MD²) (так як їх обидва є катетами прямокутних трикутників MBC і MAD).

8. При рівності BM² = MD² отримуємо, з пунктів 5 та 7, BC² = AD².

9. Позначимо довжину сторони паралелограма ABCD як a. Оскільки з пункту 4, AB = CD, то отримуємо a = AB = CD.

10. За пунктом 8, BC² = AD², враховуючи, що BC = AD = a, отримуємо a² = a².

11. Оскільки a² = a², то можемо стверджувати, що всі сторони паралелограма ABCD мають однакову довжину a. Це є визначальною властивістю ромба.

12. Отже, паралелограм ABCD є ромбом, оскільки всі його сторони мають однакову довжину.

В цей спосіб ми довели, що паралелограм ABCD є ромбом, використовуючи надану інформацію та властивості ромба.