Як довести, що кути, утворені діагоналями рівнобічної трапеції, є рівними кутами з більшою основою?

Щоб довести, що кути, утворені діагоналями рівнобічної трапеції, є рівними кутами з більшою основою, ми можемо скористатися властивостями рівнобічних трикутників та паралельних прямих.

Для доведення цієї властивості розглянемо таку рівнобічну трапецію з основами \(AB\) і \(CD\) та діагоналями \(AC\) та \(BD\). Нам потрібно довести, що кути \(\angle ACD\) і \(\angle BDA\) є рівними і кути \(\angle CAD\) і \(\angle BAC\) є рівними.

Крок 1: За властивістю рівнобічних трикутників, ми знаємо, що відрізки \(AC\) і \(BD\) є рівними. Запишемо це:

\[AC = BD \quad (1)\]

Крок 2: Також, ми знаємо, що відрізок \(AB\) є паралельний до відрізка \(CD\) в рівнобічній трапеції. Це означає, що кути \(\angle ADC\) і \(\angle BDA\) є взаємно протилежними кутами та кути \(\angle CAD\) і \(\angle BAC\) є взаємно протилежними кутами.

Крок 3: Оскільки кути \(\angle ADC\) і \(\angle BDA\) є взаємно протилежними кутами, то за теоремою про паралельні прямі сума цих кутів становить 180 градусів. Запишемо це:

\[\angle ADC + \angle BDA = 180° \quad (2)\]

Крок 4: Схожим чином, оскільки кути \(\angle CAD\) і \(\angle BAC\) є взаємно протилежними кутами, то за теоремою про паралельні прямі сума цих кутів становить 180 градусів. Запишемо це:

\[\angle CAD + \angle BAC = 180° \quad (3)\]

Крок 5: Розглянемо рівняння (2) та рівняння (3). Ми можемо переписати рівняння (2) як:

\[\angle ADC = 180° - \angle BDA \quad (4)\]

А рівняння (3) як:

\[\angle CAD = 180° - \angle BAC \quad (5)\]

Крок 6: Підставимо значення \(180° - \angle BDA\) з рівняння (4) в рівняння (5):

\[\angle CAD = 180° - (180° - \angle BDA)\]

Послідовним спрощенням отримаємо:

\[\angle CAD = \angle BDA\]

Таким чином, кути \(\angle CAD\) і \(\angle BDA\) є рівними.

Отже, ми довели, що кути, утворені діагоналями рівнобічної трапеції, є рівними кутами з більшою основою.