x⁴-тың коэффициентінің табанын 2+x)⁵ дауысінен анықтаңыз

Хорошо, давайте посмотрим, как решить эту задачу.

У нас есть выражение \(x^4\) и мы хотим найти его коэффициент перед \(x^4\) в разложении \((2+x)^5\).

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства биномиальных коэффициентов и формула бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:

\((a+b)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n,1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n,2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \dots + C(n,n-1) \cdot a^1 \cdot b^{n-1} + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^n\),

где \(C(n,k)\) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\(C(n,k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\),

где \(n!\) - это факториал числа \(n\).

Из формулы видно, что коэффициент перед \(x^4\) в разложении \((2+x)^5\) будет определяться биномиальным коэффициентом \(C(5,k)\), где \(k\) будет соответствовать степени \(x\) в разложении.

Таким образом, чтобы найти коэффициент перед \(x^4\), нам нужно найти значение \(k\), которое делает \(C(5,k)\) ненулевым. Нам необходимо определить значение \(k\), при котором \(n\) равно 5, а \(k\) равно 4.

Рассчитаем значение биномиального коэффициента \(C(5,4)\):

\(C(5,4) = \frac{{5!}}{{4! \cdot (5-4)!}} = \frac{{5!}}{{4! \cdot 1!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}} = 5\).

Таким образом, коэффициент перед \(x^4\) в разложении \((2+x)^5\) равен 5.

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам понять, как мы пришли к этому ответу. Я всегда готов помочь вам.