What is the value of the expression: 1) [tex] frac{cos11}{cos169} - frac{sin112}{sin68}[/tex] 2) [tex

Давайте разберем оба выражения поочередно, чтобы определить их значения.

1) Приведем выражение \([tex]\frac{cos11}{cos169} - \frac{sin112}{sin68}[/tex] к более простому виду:

Используя формулу суммы и разности для тригонометрических функций, получим:
\[cos(A - B) = cosA \cdot cosB + sinA \cdot sinB\]

Применим эту формулу для первого слагаемого:
\[cos11 = cos(180 - 169) = -cos169\]

Теперь заменим первое слагаемое в исходном выражении:
\([tex]\frac{-cos169}{cos169} - \frac{sin112}{sin68} = -1 - \frac{sin112}{sin68}[/tex]

Теперь рассмотрим второе слагаемое \([tex]\frac{sin112}{sin68}[/tex]:

Используя формулу суммы и разности для тригонометрических функций, получим:
\[sin(A - B) = sinA \cdot cosB - cosA \cdot sinB\]

Применим эту формулу для второго слагаемого:
\[sin112 = sin(180 - 68) = sin112 = -sin68\]

Теперь заменим второе слагаемое в исходном выражении:
\([tex]-1 - \frac{-sin68}{sin68} = -1 + 1 = 0\)

Таким образом, значение выражения \([tex]\frac{cos11}{cos169} - \frac{sin112}{sin68}[/tex] равно \(0\).

2) Теперь рассмотрим вторую задачу: \([tex]\frac{tg133}{tg47} - \frac{ctg152}{ctg128}[/tex].

Тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, поэтому тангенс от угла равен обратному котангенсу от того же угла и наоборот: \(tgA = \frac{1}{ctgA}\).

Применим этот факт к нашему выражению:
\([tex]\frac{tg133}{tg47} - \frac{ctg152}{ctg128} = \frac{1}{ctg133} - \frac{ctg152}{ctg128}\)

Котангенс угла равен обратному тангенсу от угла: \(ctgA = \frac{1}{tgA}\).

Преобразуем второе слагаемое в исходном выражении:
\([tex]\frac{1}{ctg133} - \frac{ctg152}{ctg128} = \frac{1}{tg133} - \frac{1}{tg152} \cdot \frac{tg128}{tg152}\)

Теперь, чтобы привести второе слагаемое к общему знаменателю, используем формулу умножения тангенса и котангенса: \(tgA \cdot ctgB = 1\).

Применим эту формулу:
\(\frac{1}{tg133} - \frac{1}{tg152} \cdot \frac{tg128}{tg152} = \frac{1}{tg133} - \frac{tg128}{tg133}\)

Осталось привести два слагаемых к общему знаменателю, используя формулу суммы и разности для тангенса:
\(tg(A \pm B) = \frac{tgA \pm tgB}{1 \mp tgA \cdot tgB}\)

Применим эту формулу:
\(\frac{1}{tg133} - \frac{tg128}{tg133} = \frac{\frac{1}{tg133} - \frac{tg128}{tg133}}{1 - \frac{1}{tg133} \cdot \frac{tg128}{tg133}}\)

Выполним умножение в знаменателе:
\(\frac{\frac{1}{tg133} - \frac{tg128}{tg133}}{1 - \frac{tg128}{tg133}} = \frac{1 - tg128}{1 - \frac{tg128}{tg133}}\)

Сократим дробь на общий множитель \(1 - tg128\):
\(\frac{1 - tg128}{1 - \frac{tg128}{tg133}} = \frac{1 - tg128}{1 - \frac{tg128}{tg133}} \cdot \frac{tg133}{tg133} = \frac{tg133 - tg128}{tg133 - \frac{tg128}{tg133}}\)

Таким образом, значение выражения \([tex]\frac{tg133}{tg47} - \frac{ctg152}{ctg128}[/tex] равно \(\frac{tg133 - tg128}{tg133 - \frac{tg128}{tg133}}\).

Надеюсь, данное объяснение помогло вам лучше понять решение данных задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.