What is the value of (square root of 33 + 2 times square root of 3) squared minus 4 times square root

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо выполнить некоторые математические операции. Давайте начнем.

У нас есть выражение:
\[(\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{11}\]

Для работы с этим выражением нам понадобятся некоторые свойства квадратных корней и свойства возведения в квадрат. Давайте разберемся с ними.

Свойство 1: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Используя это свойство, мы можем раскрыть выражение \((\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2\):
\[(\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{33})^2 + 2(\sqrt{33})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2\]
\[= 33 + 2(\sqrt{33})(2\sqrt{3}) + 12\]
\[= 33 + 12 + 2(\sqrt{33})(2\sqrt{3})\]
\[= 45 + 2(\sqrt{33})(2\sqrt{3})\]

Теперь, мы должны рассмотреть термин \(-4\sqrt{11}\).

Свойство 2: Умножение числа на квадратный корень: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}\).

Используя это свойство, мы можем переписать \(-4\sqrt{11}\) в следующем виде:
\(-4\sqrt{11} = \sqrt{(-4)^2 \cdot 11}\)
\(-4\sqrt{11} = \sqrt{16 \cdot 11}\)
\(-4\sqrt{11} = \sqrt{176}\)

Теперь, давайте объединим все части выражения вместе:

\[(\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{11} = 45 + 2(\sqrt{33})(2\sqrt{3}) - \sqrt{176}\]

Свойство 3: Умножение квадратных корней: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

Применяя это свойство, мы можем упростить \(2(\sqrt{33})(2\sqrt{3})\) следующим образом:
\(2(\sqrt{33})(2\sqrt{3}) = 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{33} \cdot \sqrt{3}) = 4\sqrt{99}\).

Теперь вернемся к исходному выражению и заменим \(2(\sqrt{33})(2\sqrt{3})\) на \(4\sqrt{99}\):

\[45 + 2(\sqrt{33})(2\sqrt{3}) - \sqrt{176} = 45 + 4\sqrt{99} - \sqrt{176}\]

Теперь нам нужно упростить \(\sqrt{99}\) и \(\sqrt{176}\):

\(\sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11}\)

\(\sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)

Теперь заменим \(\sqrt{99}\) и \(\sqrt{176}\) в исходном выражении:

\[45 + 4\sqrt{99} - \sqrt{176} = 45 + 4(3\sqrt{11}) - 4\sqrt{11}\]

Теперь мы можем упростить выражение:

\[45 + 4(3\sqrt{11}) - 4\sqrt{11} = 45 + 12\sqrt{11} - 4\sqrt{11}\]
\[= 45 + 8\sqrt{11}\]

Таким образом, значение выражения \((\sqrt{33} + 2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{11}\) равно \(45 + 8\sqrt{11}\).