What is the value of AB if CA is 20 cm and CB is 48 cm? Simplify fractions. Given that sin∢B= --- cos∢B

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\theta\]

Здесь \(c\) - это длина стороны, напротив которой мы хотим найти значение. В данном случае, нам нужно найти значение \(AB\), поэтому \(c = AB\). Длины сторон \(CA\) и \(CB\) уже заданы и равны 20 и 48 см соответственно.

Также нам дана информация о том, что \(\sin\angle B = \frac{a}{b}\). Поскольку нам нужно найти \(\cos\angle B\), мы можем использовать тригонометрическую тождестве \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), чтобы найти \(\cos\angle B\).

Давайте найдем значение \(AB\):

Используем теорему косинусов:

\begin{align*}
AB^2 &= CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos\angle B \\
AB^2 &= 20^2 + 48^2 - 2 \cdot 20 \cdot 48 \cdot \cos\angle B
\end{align*}

Теперь найдем значение \(\cos\angle B\), используя тригонометрическую тождество:

\begin{align*}
\sin^2\angle B + \cos^2\angle B &= 1 \\
\frac{a^2}{b^2} + \cos^2\angle B &= 1 \\
\cos^2\angle B &= 1 - \frac{a^2}{b^2} \\
\cos\angle B &= \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}
\end{align*}

В данном случае, \(a = 20\) и \(b = 48\), поэтому:

\[
\cos\angle B = \sqrt{1 - \frac{20^2}{48^2}} = \sqrt{1 - \frac{400}{2304}} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}}
\]

Теперь, вернемся к выражению для \(AB^2\) и подставим найденное значение \(\cos\angle B\):

\begin{align*}
AB^2 &= 20^2 + 48^2 - 2 \cdot 20 \cdot 48 \cdot \cos\angle B \\
AB^2 &= 400 + 2304 - 2 \cdot 20 \cdot 48 \cdot \sqrt{\frac{119}{144}}
\end{align*}

Сократим значения и вычислим это выражение:

\[
AB^2 = 400 + 2304 - 2 \cdot 20 \cdot 48 \cdot \sqrt{\frac{119}{144}} = 2704 - 960 \cdot \sqrt{\frac{119}{144}}
\]

Если мы хотим найти значение \(AB\), нужно извлечь квадратный корень:

\[
AB = \sqrt{2704 - 960 \cdot \sqrt{\frac{119}{144}}}
\]

Итак, значение стороны \(AB\) равно \(\sqrt{2704 - 960 \cdot \sqrt{\frac{119}{144}}}\) см.