What is the solution for the logarithmic equation log base 3 of the negative cosine of x plus log base 1/3

Хорошо, посмотрим на данное логарифмическое уравнение:

\(\log_3(-\cos(x)) + \log_{\frac{1}{3}}(-\sin(x)) = -\frac{1}{2}\)

Для решения данного уравнения, воспользуемся некоторыми свойствами логарифмов. Вспомним, что логарифм суммы двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

\(\log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)\)

Используем это свойство, чтобы объединить два логарифма в один:

\(\log_3(-\cos(x) \cdot \left(\frac{-1}{\sin(x)}\right)^{\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}\)

Мы также можем записать \(\frac{-1}{\sin(x)}\) как \(-\csc(x)\) и \(\sqrt{a}\) как \(a^{0.5}\):

\(\log_3(-\cos(x) \cdot (-\csc(x))^{0.5}) = -\frac{1}{2}\)

Теперь, чтобы избавиться от логарифма и найти значения \(x\), применим следующее свойство:

\(a^{\log_a(b)} = b\)

Таким образом, мы можем записать выражение следующим образом:

\(-\cos(x) \cdot (-\csc(x))^{0.5} = 3^{-\frac{1}{2}}\)

Теперь давайте разберемся с каждой частью отдельно.

У нас есть \(-\cos(x)\), это означает, что косинус \(x\) отрицателен. Вспомним, что косинус является отрицательным на участках графика, где \(x\) находится между \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\). Таким образом, у нас есть условие:

\(\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \quad (1)\)

Теперь давайте посмотрим на \((-\csc(x))^{0.5}\). Чтобы узнать, когда \(-\csc(x)\) будет иметь значение, равное дроби, возведем обе части уравнения в квадрат:

\((-1)\csc(x) = (3^{-\frac{1}{2}})^2\)

\(\csc(x) = \frac{1}{3}\)

Секанс \(x\) будет равен \(\frac{1}{3}\), если угол \(x\) находится между \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{3}\) или между \(\frac{5\pi}{6}\) и \(\frac{4\pi}{3}\):

\(\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3}\) или \(\frac{5\pi}{6} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} \quad (2)\)

Теперь соединим условия (1) и (2) и получим финальное решение:

\(\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{3}\) или \( \frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}\)

Округлив до ближайших радиан, ответом будет:

\(x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})\)