What is the rewritten version of the expression: ( frac{2m}{m+4} + frac{16}{m^2-4m+16} - frac{m^3 - 20m^2}{m^3+64)(m+4

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу и перепишем выражение.

Начнем с первого слагаемого: \(\frac{2m}{m+4}\). В этом случае мы не можем просто сократить \(m+4\), так как он находится в знаменателе дроби. Вместо этого, мы можем привести дроби к общему знаменателю. Делаем это путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на \(m^2-4m+16\):

\[\frac{2m}{m+4} \cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16} = \frac{2m(m^2-4m+16)}{(m+4)(m^2-4m+16)}\]

Переходим ко второму слагаемому: \(\frac{16}{m^2-4m+16}\). Здесь знаменатель уже является нашим общим знаменателем, поэтому никакие дополнительные действия не требуются.

Третье слагаемое: \(\frac{m^3 - 20m^2}{(m^3+64)(m+4)}\). Здесь мы также не можем просто сократить \(m+4\) из знаменателя, поэтому нам нужно привести дробь к общему знаменателю. Умножаем числитель и знаменатель на \(m^2-4m+16\):

\[\frac{m^3 - 20m^2}{(m^3+64)(m+4)} \cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16} = \frac{m^3 - 20m^2}{(m^3+64)(m+4)} \cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16}\]

Наконец, рассмотрим четвертое слагаемое: \(\frac{12m}{m+4}\). Здесь знаменатель уже является общим знаменателем, поэтому оно остается без изменений.

Теперь, когда у нас есть общий знаменатель \((m^3+64)(m+4)\), мы можем сложить все части выражения:

\[\frac{2m(m^2-4m+16)}{(m+4)(m^2-4m+16)} + \frac{16}{m^2-4m+16} - \frac{m^3 - 20m^2}{(m^3+64)(m+4)} \cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16} - \frac{12m}{m+4}\]

Теперь нам нужно собрать все слагаемые вместе. Обратите внимание, что у нас есть две дроби с знаменателем \((m+4)(m^2-4m+16)\). Мы можем объединить их в одну дробь:

\[\frac{2m(m^2-4m+16) + 16 - (m^3 - 20m^2)(m^2-4m+16) - 12m(m^3+64)}{(m+4)(m^2-4m+16)}\]

Теперь остается просто упростить числитель и знаменатель. Выполним умножение и сложение:

\[\frac{2m^3 - 8m^4 + 32m^2 + 16 - m^5 + 20m^4 + 64m^2 - 80m^3 - 12m^4 - 768m}{(m+4)(m^2-4m+16)}\]

После упрощения числителя мы получаем:

\[\frac{-m^5 + 10m^4 - 80m^3 - 722m^2 - 768m + 16}{(m+4)(m^2-4m+16)}\]

Таким образом, переписанное выражение будет:

\[\frac{-m^5 + 10m^4 - 80m^3 - 722m^2 - 768m + 16}{(m+4)(m^2-4m+16)}\]

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам разобраться в задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!