What is the rewritten version of the expression: ( frac{2m}{m+4} + frac{16}{m^2-4m+16} - frac{m^3 - 20m^2}{m^3+64)(m+4

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу и перепишем выражение.

Начнем с первого слагаемого: $\frac{2m}{m+4}$. В этом случае мы не можем просто сократить $m+4$, так как он находится в знаменателе дроби. Вместо этого, мы можем привести дроби к общему знаменателю. Делаем это путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на $m^2-4m+16$:

$$\frac{2m}{m+4}\cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16}=\frac{2m(m^2-4m+16)}{(m+4)(m^2-4m+16)}$$

Переходим ко второму слагаемому: $\frac{16}{m^2-4m+16}$. Здесь знаменатель уже является нашим общим знаменателем, поэтому никакие дополнительные действия не требуются.

Третье слагаемое: $\frac{m^3-20m^2}{(m^3+64)(m+4)}$. Здесь мы также не можем просто сократить $m+4$ из знаменателя, поэтому нам нужно привести дробь к общему знаменателю. Умножаем числитель и знаменатель на $m^2-4m+16$:

$$\frac{m^3-20m^2}{(m^3+64)(m+4)}\cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16}=\frac{m^3-20m^2}{(m^3+64)(m+4)}\cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16}$$

Наконец, рассмотрим четвертое слагаемое: $\frac{12m}{m+4}$. Здесь знаменатель уже является общим знаменателем, поэтому оно остается без изменений.

Теперь, когда у нас есть общий знаменатель $(m^3+64)(m+4)$, мы можем сложить все части выражения:

$$\frac{2m(m^2-4m+16)}{(m+4)(m^2-4m+16)}+\frac{16}{m^2-4m+16}-\frac{m^3-20m^2}{(m^3+64)(m+4)}\cdot \frac{m^2-4m+16}{m^2-4m+16}-\frac{12m}{m+4}$$

Теперь нам нужно собрать все слагаемые вместе. Обратите внимание, что у нас есть две дроби с знаменателем $(m+4)(m^2-4m+16)$. Мы можем объединить их в одну дробь:

$$\frac{2m(m^2-4m+16)+16-(m^3-20m^2)(m^2-4m+16)-12m(m^3+64)}{(m+4)(m^2-4m+16)}$$

Теперь остается просто упростить числитель и знаменатель. Выполним умножение и сложение:

$$\frac{2m^3-8m^4+32m^2+16-m^5+20m^4+64m^2-80m^3-12m^4-768m}{(m+4)(m^2-4m+16)}$$

После упрощения числителя мы получаем:

$$\frac{-m^5+10m^4-80m^3-722m^2-768m+16}{(m+4)(m^2-4m+16)}$$

Таким образом, переписанное выражение будет:

$$\frac{-m^5+10m^4-80m^3-722m^2-768m+16}{(m+4)(m^2-4m+16)}$$

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам разобраться в задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!