What is the result of the expression log base 3 of 21 multiplied by log base 7 of 21 divided by the sum of log base

Чтобы решить данное выражение, нам понадобится использовать свойства логарифмов. Давайте начнем с пошагового решения:

Шаг 1: Распишем данное выражение:
\[\log_3(21) \times \log_7(21) / (\log_3(21) + \log_3(b))\]

Шаг 2: Применим свойство логарифма, что \(\log_a(b) = \frac{{\log_c(b)}}{{\log_c(a)}}\). Для удобства выберем \(c = 10\), хотя данное свойство применимо к любому положительному числу, кроме 1. Перепишем выражение:
\[\frac{{\log_{10}(21)}}{{\log_{10}(3)}} \times \frac{{\log_{10}(21)}}{{\log_{10}(7)}} / \left(\frac{{\log_{10}(21)}}{{\log_{10}(3)}} + \frac{{\log_{10}(b)}}{{\log_{10}(3)}}\right)\]

Шаг 3: Применим свойство деления логарифмов, что \(\log_a(b/c) = \log_a(b) - \log_a(c)\), и свойство сложения логарифмов, что \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \times c)\). Перепишем выражение:
\[\frac{{\log_{10}(21)}}{{\log_{10}(3)}} \times \frac{{\log_{10}(21)}}{{\log_{10}(7)}} / \frac{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}{{\log_{10}(3)}}\]

Шаг 4: Применим свойство умножения логарифмов, что \(\log_a(b \times c) = \log_a(b) + \log_a(c)\). Перепишем выражение:
\[\frac{{\log_{10}(21 \times 21)}}{{\log_{10}(3) \times \log_{10}(7)}} / \frac{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}{{\log_{10}(3)}}\]

Шаг 5: Упростим числитель выражения:
\[\frac{{\log_{10}(441)}}{{\log_{10}(3) \times \log_{10}(7)}} / \frac{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}{{\log_{10}(3)}}\]

Шаг 6: Применим свойство логарифма, что \(\log_a(a) = 1\):
\[\frac{{1}}{{\log_{10}(3) \times \log_{10}(7)}} / \frac{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}{{\log_{10}(3)}}\]

Шаг 7: Инвертируем делитель и умножаем:
\[\frac{{1}}{{\log_{10}(3) \times \log_{10}(7)}} \times \frac{{\log_{10}(3)}}{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}\]

Шаг 8: Сократим дроби:
\[\frac{{1}}{{\log_{10}(7)}} \times \frac{{\log_{10}(3)}}{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}\]

Таким образом, результат выражения равен \(\frac{{\log_{10}(3)}}{{\log_{10}(21) + \log_{10}(b)}}\).