What is the probability that, when randomly placing the disks in the boxes, we will find that: a) each disk is

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

a) Посчитаем вероятность того, что каждый диск будет находиться в своей коробке. Предположим, у нас есть n дисков и n коробок. Вероятность того, что первый диск попадет в свою коробку, равна 1/n, так как у нас есть n коробок и любую из них можно выбрать. После того, как первый диск будет в своей коробке, вероятность для второго диска будет равна 1/(n-1), так как осталось n-1 коробок. Аналогично, для каждого следующего диска вероятность будет уменьшаться на 1/(n-i), где i - количество уже размещенных дисков.

Таким образом, вероятность того, что каждый диск будет в своей коробке, равна произведению вероятностей для каждого диска:

\[\frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1} \times \frac{1}{n-2} \times ... \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1}\]

b) Теперь посчитаем вероятность того, что хотя бы 1 диск не будет в своей коробке. Это означает, что все диски будут находиться в своих коробках с вероятностью, обратной к вероятности того, что каждый диск будет в своей коробке.

Вероятность того, что хотя бы 1 диск не будет в своей коробке, равна 1 минус вероятность того, что все диски будут в своих коробках:

\[1 - \left(\frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1} \times \frac{1}{n-2} \times ... \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1}\right)\]

c) Чтобы посчитать вероятность того, что 2 диска меняются местами, а остальные диски остаются в своих коробках, мы можем рассмотреть это как два независимых события: первый диск будет помещен в свою коробку, а второй диск не будет. Вероятность того, что 2 диска поменяются местами, равна произведению этих двух вероятностей:

\[\left(\frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1}\right)\]

d) Для того, чтобы рассчитать вероятность того, что ровно 1 диск не будет в своей коробке, мы должны учесть все возможные варианты расположения этого диска и умножить их на вероятность каждого варианта.

Такая вероятность будет равна произведению:

- Вероятность выбрать один диск из n дисков, который не будет находиться в своей коробке: \(\frac{n-1}{n}\).
- Вероятность, что этот выбранный диск окажется в конкретной коробке из n-1 коробок (в которые он не должен быть помещен): \(\frac{1}{n-1}\).
- Вероятность того, что остальные (n-1) диск будут находиться в своих коробках, согласно рассуждениям из пункта a): \(\frac{1}{n-2} \times \frac{1}{n-3} \times ... \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1}\).

Таким образом, вероятность ровно 1 диск не будет в своей коробке составит:

\[\frac{n-1}{n} \times \frac{1}{n-1} \times \frac{1}{n-2} \times \frac{1}{n-3} \times ... \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1}\]

Дайте мне знать, если вам нужно решение для определенных значений n или дополнительные пояснения.