What is the probability that all three rats will complete their tasks in 1 minute? What is the probability that only

Добро пожаловать! Давайте разберемся с этой задачей о трех крысах и их заданиях.

Чтобы найти вероятность того, что все три крысы выполнят свои задания за 1 минуту, нам нужно предположить, что каждая крыса независимо друг от друга может выполнить свою задачу за 1 минуту с фиксированной вероятностью. Пусть это будет вероятность \(p\).

Тогда вероятность того, что первая крыса выполнит задачу за 1 минуту, равна \(p\), вероятность того, что вторая крыса выполнит задачу за 1 минуту, также равна \(p\), и вероятность того, что третья крыса выполнит задачу за 1 минуту, также равна \(p\).

Поскольку события независимы, чтобы найти вероятность всех трех событий, мы должны перемножить вероятности каждого события отдельно:

\[
P(\text{{все 3 крысы выполняют задания за 1 минуту}}) = p \times p \times p = p^3
\]

Таким образом, вероятность того, что все три крысы выполнят свои задания за 1 минуту, равна \(p^3\).

Теперь перейдем к вероятности того, что только две крысы выполнят свои задания за 1 минуту. У нас есть несколько вариантов событий, в которых две крысы выполняют задания, а одна - нет. Пусть вероятность успеха (выполнения задачи) для каждой крысы равна \(p\), а вероятность неудачи (не выполнения задачи) равна \(q\) (где \(q = 1 - p\)).

Событие, когда первая и вторая крысы выполняют задания, а третья - нет, может произойти по нескольким сценариям:
- Первая крыса выполнила задание, вторая тоже, а третья не выполнила.
- Первая крыса не выполнила задание, вторая - выполнила, а третья - выполнила.

Вероятность первого сценария равна \(p \times p \times q = p^2q\), а вероятность второго сценария равна \(q \times p \times p = qp^2\). Чтобы найти общую вероятность, мы суммируем эти две вероятности:

\[
P(\text{{только 2 крысы выполняют задания за 1 минуту}}) = p^2q + qp^2 = 2p^2q
\]

И, наконец, вероятность того, что хотя бы две крысы выполнят свои задания за 1 минуту, включает в себя события, когда две крысы выполняют задания, а также событие, когда все три крысы выполняют задания:

\[
P(\text{{хотя бы 2 крысы выполняют задания за 1 минуту}}) = P(\text{{только 2 крысы выполняют задания за 1 минуту}}) + P(\text{{все 3 крысы выполняют задания за 1 минуту}})
\]

Вставляем ранее найденные вероятности:

\[
P(\text{{хотя бы 2 крысы выполняют задания за 1 минуту}}) = 2p^2q + p^3
\]

Это и есть ответы на задачу. Если у вас остались какие-то вопросы или нужно что-то прояснить, пожалуйста, обращайтесь!