What is the probability that a randomly chosen point from the rectangle ABCD belongs to the quadrilateral MNPK, given

Хорошо, давайте вместе разберем данную задачу.

У нас есть прямоугольник ABCD, с периметром, равным 40 см, и одна из его сторон в три раза больше другой. Для начала, давайте обозначим стороны прямоугольника. Пусть x - это длина более короткой стороны, а 3x - это длина более длинной стороны.

Тогда периметр прямоугольника ABCD можно выразить следующим образом:
\(2x + 2(3x) = 40\)

Решим данное уравнение:
\(2x + 6x = 40\)
\(8x = 40\)
\(x = \frac{40}{8}\)
\(x = 5\)

Теперь у нас есть длины сторон прямоугольника: x = 5 см и 3x = 15 см.

Зная длину сторон прямоугольника, мы можем построить его на координатной плоскости. По условию задачи, мы находимся в прямоугольной системе координат, где вершина A находится в начале координат (0, 0). Так же, из условия задачи уже известно, что сторона AB имеет длину 5 см, сторона BC имеет длину 15 см, а сторона CD также имеет длину 5 см.

Теперь нам нужно найти вершины квадрилетра MNPK и определить его площадь.

Согласно условию задачи, одна из сторон прямоугольника втрое больше другой. Поскольку сторона BC имеет длину 15 см, у нас есть достаточно информации для того, чтобы построить квадрилатер MNPK.

Координаты точек:
M: (5, 0)
N: (5, 15)
P: (20, 15)
K: (20, 0)

Давайте посмотрим фигуру поближе.

\[
\begin{array}{c}
N(5, 15)-------P(20, 15) \\
| \hspace{1cm} \\
| \hspace{1cm} \\
| \hspace{1cm} \\
M(5, 0)--------K(20, 0)
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка из прямоугольника ABCD принадлежит квадрилатеру MNPK, нам нужно найти отношение площади квадрилатера к площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:
\(Площадь_{ABCD} = x \cdot 3x\)

Площадь квадрилетра MNPK можно найти как разность площадей двух треугольников: AMN и CPK. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона или формулу для прямоугольника. Давайте воспользуемся формулой для прямоугольника.

Длины сторон MN и KP равны 5 см, а высота треугольника AMN равна 15 см (совпадает со стороной BC прямоугольника ABCD).

Площадь треугольника AMN:
\(Площадь_{AMN} = \frac{5 \cdot 15}{2}\)

Площадь треугольника CPK:
\(Площадь_{CPK} = \frac{5 \cdot 15}{2}\)

Теперь мы можем найти площадь квадрилетра MNPK:
\(Площадь_{MNPK} = Площадь_{ABCD} - Площадь_{AMN} - Площадь_{CPK}\)

Подставим значения:
\(Площадь_{MNPK} = 5 \cdot 15 - \frac{5 \cdot 15}{2} - \frac{5 \cdot 15}{2}\)

Производя вычисления, получим:
\(Площадь_{MNPK} = 150 - 37.5 - 37.5 = 75\)

Теперь мы знаем площадь прямоугольника ABCD и площадь квадрилетра MNPK. Чтобы найти вероятность, мы делим площадь квадрилетра на площадь прямоугольника:

\(Вероятность = \frac{Площадь_{MNPK}}{Площадь_{ABCD}}\)

(я убрал установку LaTeX markup, чтобы показать ответ)

Подставим значения:
\(Вероятность = \frac{75}{5 \cdot 15} = \frac{75}{75} = 1\)

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка из прямоугольника ABCD принадлежит квадрилатеру MNPK, равна 1 или 100%.