What is the probability that a randomly chosen point from the rectangle ABCD belongs to the quadrilateral MNPK, given

Хорошо, давайте вместе разберем данную задачу.

У нас есть прямоугольник ABCD, с периметром, равным 40 см, и одна из его сторон в три раза больше другой. Для начала, давайте обозначим стороны прямоугольника. Пусть x - это длина более короткой стороны, а 3x - это длина более длинной стороны.

Тогда периметр прямоугольника ABCD можно выразить следующим образом:
$2x+2(3x)=40$

Решим данное уравнение:
$2x+6x=40$
$8x=40$
$x=\frac{40}{8}$
$x=5$

Теперь у нас есть длины сторон прямоугольника: x = 5 см и 3x = 15 см.

Зная длину сторон прямоугольника, мы можем построить его на координатной плоскости. По условию задачи, мы находимся в прямоугольной системе координат, где вершина A находится в начале координат (0, 0). Так же, из условия задачи уже известно, что сторона AB имеет длину 5 см, сторона BC имеет длину 15 см, а сторона CD также имеет длину 5 см.

Теперь нам нужно найти вершины квадрилетра MNPK и определить его площадь.

Согласно условию задачи, одна из сторон прямоугольника втрое больше другой. Поскольку сторона BC имеет длину 15 см, у нас есть достаточно информации для того, чтобы построить квадрилатер MNPK.

Координаты точек:
M: (5, 0)
N: (5, 15)
P: (20, 15)
K: (20, 0)

Давайте посмотрим фигуру поближе.

$$\begin{array}{c}N(5,15)-------P(20,15)\\ |\\ |\\ |\\ M(5,0)--------K(20,0)\end{array}$$

Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка из прямоугольника ABCD принадлежит квадрилатеру MNPK, нам нужно найти отношение площади квадрилатера к площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:
$Площад{ь}_{ABCD}=x\cdot 3x$

Площадь квадрилетра MNPK можно найти как разность площадей двух треугольников: AMN и CPK. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона или формулу для прямоугольника. Давайте воспользуемся формулой для прямоугольника.

Длины сторон MN и KP равны 5 см, а высота треугольника AMN равна 15 см (совпадает со стороной BC прямоугольника ABCD).

Площадь треугольника AMN:
$Площад{ь}_{AMN}=\frac{5\cdot 15}{2}$

Площадь треугольника CPK:
$Площад{ь}_{CPK}=\frac{5\cdot 15}{2}$

Теперь мы можем найти площадь квадрилетра MNPK:
$Площад{ь}_{MNPK}=Площад{ь}_{ABCD}-Площад{ь}_{AMN}-Площад{ь}_{CPK}$

Подставим значения:
$Площад{ь}_{MNPK}=5\cdot 15-\frac{5\cdot 15}{2}-\frac{5\cdot 15}{2}$

Производя вычисления, получим:
$Площад{ь}_{MNPK}=150-37.5-37.5=75$

Теперь мы знаем площадь прямоугольника ABCD и площадь квадрилетра MNPK. Чтобы найти вероятность, мы делим площадь квадрилетра на площадь прямоугольника:

$Вероятность=\frac{Площад{ь}_{MNPK}}{Площад{ь}_{ABCD}}$

(я убрал установку LaTeX markup, чтобы показать ответ)

Подставим значения:
$Вероятность=\frac{75}{5\cdot 15}=\frac{75}{75}=1$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка из прямоугольника ABCD принадлежит квадрилатеру MNPK, равна 1 или 100%.