What is the area of triangle ABC with vertices at A(-2,-1), B(3,11), and C(8,-1)? Calculate Sabc

Чтобы вычислить площадь треугольника ABC, сначала нужно найти длины его сторон, а затем применить формулу для вычисления площади треугольника.

Для начала, определим длины сторон треугольника ABC. Мы можем использовать расстояние между двумя точками, заданными координатами, для нахождения длины стороны.

Сторона AB будет иметь координаты A(-2, -1) и B(3, 11). Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости, получаем:

\[AB = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }\]
\[AB = \sqrt{ (3 - (-2))^2 + (11 - (-1))^2 }\]
\[AB = \sqrt{ (3 + 2)^2 + (11 + 1)^2 }\]
\[AB = \sqrt{ 5^2 + 12^2 }\]
\[AB = \sqrt{ 25 + 144 }\]
\[AB = \sqrt{169}\]
\[AB = 13\]

Аналогичным образом, мы можем найти длины сторон BC и CA.

BC: B(3, 11) и C(8, -1)
\[BC = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }\]
\[BC = \sqrt{ (8 - 3)^2 + (-1 - 11)^2 }\]
\[BC = \sqrt{ (5)^2 + (-12)^2 }\]
\[BC = \sqrt{ 25 + 144 }\]
\[BC = \sqrt{169}\]
\[BC = 13\]

CA: C(8, -1) и A(-2, -1)
\[CA = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }\]
\[CA = \sqrt{ (-2 - 8)^2 + (-1 - (-1))^2 }\]
\[CA = \sqrt{ (-10)^2 + (0)^2 }\]
\[CA = \sqrt{ 100 + 0 }\]
\[CA = \sqrt{100}\]
\[CA = 10\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника ABC: AB = 13, BC = 13 и CA = 10. Мы можем использовать формулу Герона, чтобы вычислить площадь треугольника.

Формула Герона:
Площадь треугольника ABC равна \[S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p-CA)}\],
где p - полупериметр треугольника, который можно вычислить следующим образом: \[p = \frac{AB + BC + CA}{2}\].

В нашем случае:
\(AB = 13\),
\(BC = 13\),
\(CA = 10\).

\(p = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18\).

Подставляем значение в формулу:
\[S = \sqrt{18(18 - 13)(18 - 13)(18 - 10)}\].
\[S = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8}\].
\[S = \sqrt{18 \cdot 5^2 \cdot 8}\].
\[S = \sqrt{18 \cdot 25 \cdot 8}\].
\[S = \sqrt{3600}\].
\[S = 60\].

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 60 единицам площади.