What is the angular velocity, ω, of the platform after the bullet hits, considering the bullet gets embedded

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Перед произведением выстрела и после встраивания пули в мишень, момент импульса системы должен оставаться постоянным. Момент импульса равен произведению массы на скорость объекта и его расстояние от оси вращения.

Перед выстрелом, у пули не было начального момента импульса, поскольку ее расстояние от оси вращения равно нулю. После встраивания пули в мишень, момент импульса всей системы будет равен моменту импульса пули плюс момент импульса мишени.

Момент импульса пули можно вычислить, учитывая ее массу (m = 0,015 кг) и начальную скорость (v = 10 м/с), а также ее расстояние (r) от оси вращения платформы.

По формуле момента импульса \(L = m \cdot v \cdot r\), где L - момент импульса, m - масса объекта, v - скорость объекта и r - расстояние от оси вращения, получаем:

\[L_{\text{пули}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули}} \cdot r\]
\[L_{\text{пули}} = 0,015 \ \text{кг} \cdot 10 \ \text{м/с} \cdot 0,5 \ \text{м}.\]
\[L_{\text{пули}} = 0,075 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}.\]

Момент импульса мишени равен нулю, поскольку масса мишени игнорируется в данной задаче (нам дано не учитывать массу мишени). Следовательно, момент импульса всей системы после встраивания пули будет равен моменту импульса пули.

Момент импульса всей системы после встраивания пули вычисляется по тому же принципу:

\[L_{\text{системы}} = L_{\text{пули}} = 0,075 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}.\]

Так как момент импульса равен произведению момента инерции на угловую скорость, мы можем использовать формулу \(L_{\text{системы}} = I \cdot \omega\), где I - момент инерции системы и \(\omega\) - угловая скорость системы.

Располагая этой формулой, мы можем вычислить угловую скорость системы:

\[\omega = \frac{L_{\text{системы}}}{I}.\]

Момент инерции мишени вокруг ее оси вращения можно рассчитать, используя формулу момента инерции \(I_{\text{мишени}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\text{мишени}} \cdot r^2\), где I_мишени - момент инерции мишени, m_мишени - масса мишени и r - радиус мишени.

Подставляя известные значения, получаем:

\[I_{\text{мишени}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\text{мишени}} \cdot r^2\]
\[I_{\text{мишени}} = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \ \text{кг} \cdot (0,5 \ \text{м})^2\]
\[I_{\text{мишени}} = 0,025 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2.\]

Теперь, подставляя значения в формулу для угловой скорости, получаем:

\[\omega = \frac{L_{\text{системы}}}{I} = \frac{0,075 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}}{0,025 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2}.\]
\[\omega = 3 \ \text{рад/с}.\]

Таким образом, угловая скорость платформы после встраивания пули составляет 3 рад/с.