What are the values of x and y that satisfy these conditions? 1. 6⋅i⃗ +y⋅j⃗ =9⋅j⃗ +x⋅i⃗ ; x = y = 2. 2. 6⋅i⃗ +y⋅j⃗

Давайте разберем каждую задачу по очереди:

1. Дано: \(6\cdot\vec{i} + y\cdot\vec{j} = 9\cdot\vec{j} + x\cdot\vec{i}\) и \(x = y = 2\).
Заменяем \(x\) и \(y\) на 2: \(6\cdot\vec{i} + 2\cdot\vec{j} = 9\cdot\vec{j} + 2\cdot\vec{i}\).
Теперь сгруппируем одинаковые векторы: \(6\cdot\vec{i} - 2\cdot\vec{i} = 9\cdot\vec{j} - 2\cdot\vec{j}\).
Выполняем операции: \(4\cdot\vec{i} = 7\cdot\vec{j}\).
Чтобы два вектора были равными, их коэффициенты должны быть пропорциональны. То есть, \(\frac{4}{7} = \frac{i}{j}\).
Таким образом, \(x = y = 2\) удовлетворяет данное условие.

2. Дано: \(6\cdot\vec{i} + y\cdot\vec{j} - x\cdot\vec{i} - 9\cdot\vec{j} = 0\), и \(x = y = 3\).
Заменяем \(x\) и \(y\) на 3: \(6\cdot\vec{i} + 3\cdot\vec{j} - 3\cdot\vec{i} - 9\cdot\vec{j} = 0\).
Теперь сгруппируем одинаковые векторы: \((6\cdot\vec{i} - 3\cdot\vec{i}) + (3\cdot\vec{j} - 9\cdot\vec{j}) = 0\).
Выполняем операции: \(3\cdot\vec{i} - 6\cdot\vec{j} = 0\).
Коэффициенты векторов не пропорциональны, поэтому \(x = y = 3\) не удовлетворяет данному условию.

3. Дано: \(18\cdot\vec{i} + 12\cdot\vec{j} - 2y\cdot\vec{j} - 3x\cdot\vec{i} = 0\) и \(x + y = 8\).
Заменяем \(x + y\) на 8: \(18\cdot\vec{i} + 12\cdot\vec{j} - 2y\cdot\vec{j} - 3x\cdot\vec{i} = 0\).
Теперь сгруппируем одинаковые векторы: \((18\cdot\vec{i} - 3x\cdot\vec{i}) + (12\cdot\vec{j} - 2y\cdot\vec{j}) = 0\).
Выполняем операции: \((18 - 3x)\cdot\vec{i} + (12 - 2y)\cdot\vec{j} = 0\).
Так как векторы должны быть равными, их коэффициенты должны быть равными нулю.
Это приводит к системе уравнений: \(\begin{cases}18 - 3x = 0 \\ 12 - 2y = 0\end{cases}\).
Решаем систему уравнений: \(x = 6\) и \(y = 6\).
Таким образом, при \(x = 6\) и \(y = 6\) уравнение удовлетворено.

Итак, для первой задачи, \(x = y = 2\); для второй задачи, нет решения; и для третьей задачи, \(x = y = 6\) удовлетворяет данному условию.