What are the roots of the equation 5tg2x+14tgx=3? 1) x=arctg0,2+πn 2) x=π−arctg3+πn 3) x=arctg0,2+2πn 4) −arctg3+πn

Чтобы найти корни уравнения \(5\tan^2x + 14\tan x = 3\), мы должны преобразовать его в уравнение, содержащее только тангенсы. Затем мы используем известные тригонометрические идентичности для решения уравнения. Прежде всего, давайте преобразуем уравнение.

Мы можем заменить \(\tan^2x\) через \(\sec^2x - 1\) и \(\tan x\) через \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\). Получим:

\[5(\sec^2x - 1) + 14\left(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\right) = 3\]

Раскроем скобки:

\[5\sec^2x - 5 + 14\left(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\right) = 3\]

Далее, упростим это уравнение:

\[5\sec^2x + 14\left(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\right) = 8\]

Теперь давайте заменим \(\sec x\) через \(\frac{{1}}{{\cos x}}\) и упростим выражение дальше:

\[\frac{{5}}{{\cos^2 x}} + \frac{{14\sin x}}{{\cos x}} = 8\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\cos^2 x\) для избавления от знаменателя:

\[5 + 14\sin x\cos x = 8\cos^2 x\]

Теперь преобразуем \(\sin x\cos x\) через \(\frac{{\sin 2x}}{{2}}\):

\[5 + \frac{{14\sin 2x}}{{2}} = 8\cos^2 x\]

\[5 + 7\sin 2x = 8\cos^2 x\]

Далее, заменим \(\cos^2 x\) через \(1 - \sin^2x\):

\[5 + 7\sin 2x = 8(1 - \sin^2 x)\]

Раскроем скобки:

\[5 + 7\sin 2x = 8 - 8\sin^2 x\]

Упростим это уравнение:

\[8\sin^2 x + 7\sin 2x - 3 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение для \(\sin x\). Давайте решим его с помощью квадратного уравнения.

Обозначим \(\sin x\) через \(t\):

\[8t^2 + 7t - 3 = 0\]

Это уравнение можно разложить на множители:

\((4t - 1)(2t + 3) = 0\)

Теперь найдём значения \(t\):

\(4t - 1 = 0\) или \(2t + 3 = 0\)

Из первого уравнения получим \(t = \frac{1}{4}\), а из второго уравнения \(t = -\frac{3}{2}\).

Теперь, чтобы найти значения \(\sin x\), подставим \(t\) обратно:

\(\sin x = \frac{1}{4}\) или \(\sin x = -\frac{3}{2}\)

Но \(\sin x\) должен находиться в интервале -1 до 1, поэтому отбросим \(\sin x = -\frac{3}{2}\).

Итак, мы нашли, что \(\sin x = \frac{1}{4}\).

Теперь давайте найдём значения \(x\). Для этого мы используем обратную функцию арксинуса.

\(x = \arcsin \left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n\)

Таким образом, первый вариант x равен \(x = \arcsin \left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Для второго варианта мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество: \(\arcsin (x) + \arccos (x) = \frac{\pi}{2}\).

\(x = \frac{\pi}{2} - \arccos \left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n\)

Таким образом, второй вариант x равен \(x = \frac{\pi}{2} - \arccos \left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Итак, корни уравнения \(5\tan^2x + 14\tan x = 3\) равны:

1) \(x = \arcsin \left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n\)

2) \(x = \frac{\pi}{2} - \arccos \left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n\)

Где \(n\) - целое число.