Выявите график уравнения y = (х – 4)2 + 4. Научитесь определять а) корни уравнения; б) интервалы, на которых знак

Хорошо, рассмотрим задачу подробно.

а) Чтобы найти корни уравнения \(y = (x - 4)^2 + 4\), нужно найти значения \(x\), при которых \(y\) равно нулю. Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[(x - 4)^2 + 4 = 0\]

Раскроем квадрат и получим:

\(x^2 - 8x + 16 + 4 = 0\)

\(x^2 - 8x + 20 = 0\)

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) можно вычислить по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 20\). Подставим значения в формулу для \(D\):

\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Значит, корней нет.

б) Чтобы определить интервалы, на которых знак функции постоянен, нужно рассмотреть значение функции в некоторых точках на прямой. Рассчитаем значение функции для некоторых \(x\):

\[
\begin{align*}
x = 0: \quad y &= (0 - 4)^2 + 4 = 16 + 4 = 20 \\
x = 4: \quad y &= (4 - 4)^2 + 4 = 0 + 4 = 4 \\
x = 8: \quad y &= (8 - 4)^2 + 4 = 16 + 4 = 20
\end{align*}
\]

Из полученных значений видно, что функция \(y = (x - 4)^2 + 4\) положительна на интервале \((4, +\infty)\) и \((-\infty, 4)\), а также нулевая при \(x = 4\).

в) Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, нужно проанализировать производную функции. Для этого возьмем производную от функции \(y = (x - 4)^2 + 4\):

\[
y" = 2(x - 4)
\]

Для понимания знака производной, выберем произвольное значение \(x\) в каждом интервале, и проверим, положителен или отрицателен результат.

Примеры значений и их знаки производной:

При \(x = 3\): \(y" = 2 \cdot (3 - 4) = -2\) (отрицательное значение)

При \(x = 5\): \(y" = 2 \cdot (5 - 4) = 2\) (положительное значение)

Из этого следует, что функция возрастает на интервале \((4, +\infty)\) и убывает на интервале \((-\infty, 4)\).

г) Чтобы найти область значений функции \(y = (x - 4)^2 + 4\), нужно определить минимальное значение \(y\). Квадратное слагаемое \((x - 4)^2\) всегда неотрицательно, поэтому минимальное значение будет достигаться при \(x = 4\), когда эта часть равна нулю. Таким образом, минимальное значение \(y\) равно 4.

Таким образом, область значений функции \(y = (x - 4)^2 + 4\) - это все значения \(y\), которые больше или равны 4.

Я надеюсь, что эта подробная информация поможет вам понять данное уравнение и его свойства.