Высоты многоугольника mnk пересекаются в точке r. Длины отрезков pn и mk соответственно равны 5 и 10. Какова площадь

Чтобы найти площадь четырехугольника MNKP, нам нужно знать длину его высоты, проходящей через вершину NP. Мы можем использовать сходство треугольников для нахождения этой высоты.

Итак, у нас есть треугольник PNR и треугольник MKR. Мы знаем, что длина отрезка PN равна 5 и длина отрезка MK равна 10. Обозначим точку пересечения высот как H. Тогда нам нужно найти длину отрезка HN и отрезка HM, чтобы решить эту задачу.

Так как треугольник PNR и треугольник MKR подобны (они имеют одинаковые углы), мы можем установить пропорцию между их сторонами. Поэтому отношение длины отрезка PN к длине отрезка NR будет таким же, как отношение длины отрезка MK к длине отрезка KR:

\(\frac{PN}{NR} = \frac{MK}{KR}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{5}{NR} = \frac{10}{KR}\)

Теперь мы можем найти отношение длины отрезка HN к длине отрезка HR. По аналогии с предыдущим шагом, получим:

\(\frac{HN}{HR} = \frac{PN}{NR}\)

Подставляя значения, получим:

\(\frac{HN}{HR} = \frac{5}{NR}\)

Так как HR - это сумма отрезков NR и KR, можем записать:

\(\frac{HN}{NR+KR} = \frac{5}{NR}\)

Переставим части пропорции:

\(\frac{NR}{HN} = \frac{NR+KR}{5}\)

Теперь мы можем найти отношение длины отрезка HM к длине отрезка HR, аналогично:

\(\frac{HM}{HR} = \frac{MK}{KR}\)

Подставляя значения, получим:

\(\frac{HM}{HR} = \frac{10}{KR}\)

Итак, мы выразили отношения длин отрезков HN и HM к длине отрезка HR. Теперь мы можем использовать эти отношения, чтобы найти значения HN, HM и HR.

Пер начало решения и подключение к высоте прямые
\[
\begin{align*}
\frac{NR}{HN} &= \frac{NR+KR}{5} && \text{[из пропорции]} \\
\frac{HM}{HR} &= \frac{10}{KR} && \text{[из пропорции]}
\end{align*}
\]

Далее, чтобы решить эти пропорции, мы можем использовать систему уравнений.

Для первой пропорции:
\[
\begin{align*}
NR \cdot 5 &= HN \cdot (NR+KR) && \text{[перемножим строчки]} \\
5NR &= HN \cdot NR + HN \cdot KR && \text{[распределительные свойства]} \\
5NR &= NR \cdot (HN+KR) && \text{[факторизация]} \\
\end{align*}
\]

Разделим обе части уравнения на NR:
\[
\begin{align*}
5 &= HN + KR && \text{[сокращение множителей]}
\end{align*}
\]

Итак, мы получили первое уравнение: \(5 = HN + KR\).

Для второй пропорции:
\[
\begin{align*}
HM \cdot KR &= HR \cdot 10 && \text{[перемножим строчки]} \\
10KR &= HM \cdot KR + HR \cdot KR && \text{[распределительные свойства]} \\
10KR &= KR \cdot (HM+HR) && \text{[факторизация]} \\
\end{align*}
\]

Разделим обе части уравнения на KR:
\[
\begin{align*}
10 &= HM + HR && \text{[сокращение множителей]}
\end{align*}
\]

Итак, мы получили второе уравнение: \(10 = HM + HR\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: \(5 = HN + KR\) и \(10 = HM + HR\).

Есть несколько способов решить эту систему. Один из них - использовать метод замены. Мы можем решить первое уравнение относительно HN или KR, а затем подставить это значение во второе уравнение.

Давайте решим первое уравнение относительно HN:
\[
\begin{align*}
5 &= HN + KR && | - KR \quad \text{[вычтем KR из обеих сторон]} \\
5 - KR &= HN && \text{[переставим слагаемые]}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:
\[
\begin{align*}
10 &= HM + HR && | - HM \quad \text{[вычтем HM из обеих сторон]} \\
10 - HM &= HR && \text{[переставим слагаемые]}
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть два уравнения с одной неизвестной: \(5 - KR = HN\) и \(10 - HM = HR\).

Мы знаем, что высоты пересекаются в точке R, поэтому HN равно HR. Мы можем заменить HN во втором уравнении на HR:

\(10 - HM = HR\)

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной, которую мы можем решить.

Давайте решим это уравнение относительно HR:
\[
\begin{align*}
10 - HM &= HR && | + HM \quad \text{[прибавим HM к обеим сторонам]} \\
10 &= HR + HM && \text{[переставим слагаемые]}
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть значение HR: \(10 = HR + HM\).

Так как HN равно HR, мы можем заменить HR на HN в первом уравнении:

\(5 = HN + KR\)

Теперь у нас есть значение HN: \(5 = HN + KR\).

Итак, мы получили HN = 5 и HR = 10.

Теперь мы можем найти длину отрезка HM, используя второе уравнение \(10 = HM + HR\):

\(10 = HM + 10\)

Вычитаем 10 из обеих сторон:

\(HM = 0\)

Теперь, когда у нас есть значения HN, HM и HR, мы можем найти площадь четырехугольника MNKP.

Площадь четырехугольника MNKP равна сумме площадей треугольников MKN и MNP.

Площадь треугольника MKN равна половине произведения его основания MK на высоту HM:

\(S_{MKN} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot HM\)

Подставляем известные значения:

\(S_{MKN} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0 = 0\)

Площадь треугольника MNP равна половине произведения его основания PN на высоту HN:

\(S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot PN \cdot HN\)

Подставляем известные значения:

\(S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5\)

Итак, площадь четырехугольника MNKP равна сумме площадей треугольников MKN и MNP:

\(S_{MNKP} = S_{MKN} + S_{MNP} = 0 + 12.5 = 12.5\)

Таким образом, площадь четырехугольника MNKP равна 12.5.