Вычислите, на каком отдаляется от вершины конуса сечение, площадь которого составляет 1/9 площади основания конуса

Пусть \(S_1\) обозначает площадь сечения, а \(S_2\) обозначает площадь основания конуса. Мы знаем, что \(S_1 = \frac{1}{9}S_2\).

Площадь сечения представляет собой площадь круга. Формула для площади круга задается формулой \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга.

Площадь основания конуса также является площадью круга, поэтому \(S_2 = \pi R^2\), где \(R\) - радиус основания конуса.

По определению конуса, радиусы сечений между вершиной и основанием пропорциональны высотам сечений. Пусть \(h\) - высота конуса.

Обозначим радиус сечения, на котором площадь составляет \(\frac{1}{9}\) площади основания, как \(r_1\).

Таким образом, отношение радиуса сечения к радиусу основания равно отношению высоты сечения к высоте конуса:

\(\frac{r_1}{R} = \frac{h_1}{h}\).

Мы должны найти значение \(h_1\), поэтому перепишем уравнение, чтобы выразить \(h_1\):

\(h_1 = \frac{r_1 \cdot h}{R}\).

У нас также есть другое уравнение, связанное с площадью сечения:

\(S_1 = \pi r_1^2\).

Теперь мы можем подставить значение \(S_1\) и \(S_2\) в соответствующие уравнения:

\(\pi r_1^2 = \frac{1}{9} \pi R^2\).

Сократим \(\pi\) с обеих сторон уравнения:

\(r_1^2 = \frac{1}{9} R^2\).

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти \(r_1\):

\(r_1 = \frac{1}{3} R\).

Теперь, подставив значение \(r_1\) в уравнение для \(h_1\), получим:

\(h_1 = \frac{\frac{1}{3} R \cdot h}{R}\).

Сократим \(R\) в числителе и знаменателе:

\(h_1 = \frac{1}{3} h\).

Таким образом, сечение отдаляется от вершины конуса на \(\frac{1}{3}\) от высоты конуса.

Ответ: Сечение отдаляется от вершины конуса на \(\frac{1}{3}\) от высоты конуса.