Выберите все правильные утверждения среди чисел a, b, c, где a, b, c - натуральные числа: - Если a и c не имеют общих

b и c имеют общий делитель.

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди и проверим, являются ли они верными.

Утверждение 1: Если a и c не имеют общих делителей, и b и c не имеют общих делителей, то сумма a+b не имеет общих делителей с c.

Для того чтобы сумма a+b имела общий делитель с c, необходимо, чтобы c делилась на делитель суммы a+b. Однако, предположим, что a, b и c не имеют общих делителей. Тогда все делители суммы a+b будут делителями или a или b, но не c. Следовательно, утверждение верно.

Утверждение 2: Если разность a−b имеет общий делитель с c, то a и c имеют общий делитель, а также b и c имеют общий делитель.

Предположим, что разность a−b имеет общий делитель с c. Это означает, что c делится на этот общий делитель, а значит, и a делится на него, так как \(a = (a-b) + b\). Также, разность a−b делится на этот общий делитель, поэтому и b делится на него. Таким образом, утверждение верно.

Утверждение 3: Если разность a−b имеет общий делитель с c, и a имеет общий делитель с c, то b и c имеют общий делитель.

Мы уже предположили, что разность a−b имеет общий делитель с c, поэтому согласно утверждению 2, a и c имеют общий делитель. Допустим, что b и c не имеют общих делителей. Разность a−b также делится на этот общий делитель, но тогда b также должно делиться на него, что противоречит предположению. Следовательно, утверждение верно.

Утверждение 4: Если a имеет общий делитель с c, то произведение ab имеет общий делитель с c.

Предположим, что a и c имеют общий делитель. Это означает, что c делится на этот общий делитель, а значит, и произведение ab делится на него. Таким образом, утверждение верно.

Утверждение 5: Если произведение ab имеет общий делитель с c, то a и c имеют общий делитель, а также b и c имеют общий делитель.

Предположим, что произведение ab имеет общий делитель с c. Тогда и произведение ab делится на этот общий делитель, а значит, и a делится на него. Также, произведение ab делится на этот общий делитель, поэтому и b делится на него. Таким образом, утверждение верно.

Итак, мы рассмотрели каждое утверждение по очереди и пришли к выводу, что верны все утверждения, кроме второго. Утверждение 2 не является верным, потому что даже если разность a−b имеет общий делитель с c, это не обязательно значит, что a и c, а также b и c имеют общий делитель.