Выберите верные утверждения: 1. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин катетов. 2. Длина проекции

Давайте по порядку рассмотрим каждое утверждение и проверим, верно ли оно.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин катетов.
Это утверждение не верно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) - длины катетов.

2. Длина проекции катета равна отношению квадрата длины этого катета к длине гипотенузы.
Это утверждение верно. Длина проекции катета на гипотенузу равна отношению квадрата длины данного катета к длине гипотенузы. Формула для вычисления длины проекции: \( P = \frac{a^2}{c} \), где \( a \) - длина катета и \( c \) - длина гипотенузы.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению квадрата длины катета к длине его проекции на гипотенузу.
Это утверждение также не верно. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов длин его катетов. Теорема Пифагора: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \), где \( a \) и \( b \) - длины катетов, а \( c \) - длина гипотенузы.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна среднему пропорциональному из длин проекций катетов на гипотенузу.
Это утверждение не верно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, как было указано в первом утверждении.

5. Высота прямоугольного треугольника равна отношению произведения длин катетов к гипотенузе.
Это утверждение также не верно. Высота прямоугольного треугольника равна отношению площади треугольника к длине гипотенузы, а именно: \( h = \frac{2S}{c} \), где \( S \) - площадь треугольника, \( c \) - длина гипотенузы.

6. Длина проекции катета равна отношению квадрата высоты к проекции другого катета.
Это утверждение не верно. Длина проекции катета на гипотенузу равна произведению длины высоты треугольника на длину другого катета, деленное на длину гипотенузы. Формула: \( P = \frac{h \cdot b}{c} \), где \( h \) - высота треугольника, \( b \) - длина другого катета, \( c \) - длина гипотенузы.

Итак, после рассмотрения указанных утверждений, верными оказались только утверждения номер 2 и 3.