Выберите утверждения, относящиеся к функции, которая дважды дифференцируема на отрезке [a; b], и у которой производная имеет два корня:
1. Вторая производная функции имеет корни на отрезке [a; b].
2. Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b].
3. Функция имеет корни на отрезке [a; b].
4. Характер монотонности функции меняется на отрезке [a; b].
1. Вторая производная функции имеет корни на отрезке [a; b].
2. Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b].
3. Функция имеет корни на отрезке [a; b].
4. Характер монотонности функции меняется на отрезке [a; b].
Сергеевич
[Рисунок функции, хорошо заметное изменение]
Чтобы выбрать утверждения, относящиеся к функции, которая дважды дифференцируема на отрезке [a; b], и у которой производная имеет два корня, рассмотрим каждое утверждение по отдельности и сделаем обоснование:
1. Вторая производная функции имеет корни на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не всегда верно. Рассмотрим, например, функцию на отрезке [0; 1]. У этой функции вторая производная равна 2, и она не имеет корней на данном отрезке. Таким образом, это утверждение не относится к искомой функции.
2. Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b]:
- Это утверждение верно. Если производная функции имеет два корня на отрезке [a; b], то это значит, что производная меняет знак на этом отрезке. Следовательно, характер выпуклости функции должен меняться на данном отрезке. Например, если производная положительна на первой половине отрезка и отрицательна на второй половине, то функция будет выпуклой на первой половине и вогнутой на второй.
3. Функция имеет корни на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не зависит от дифференцируемости функции или количества корней производной. Для искомой функции это утверждение может быть как верным, так и неверным. Возможны ситуации, когда функция имеет корни на отрезке [a; b], и одновременно функция дифференцируема или не дифференцируема. Поэтому это утверждение не является ответом на задачу.
4. Характер монотонности функции меняется на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не всегда верно. Если производная функции имеет два корня на отрезке [a; b], то это значит, что производная меняет знак два раза, но это не означает, что сама функция будет менять свою монотонность. Например, для функции на отрезке [-1; 1] производная равна , которая имеет два корня, но функция сама по себе монотонно возрастает на всем отрезке.
Таким образом, решая данную задачу, единственным верным утверждением будет:
- Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b].
Чтобы выбрать утверждения, относящиеся к функции, которая дважды дифференцируема на отрезке [a; b], и у которой производная имеет два корня, рассмотрим каждое утверждение по отдельности и сделаем обоснование:
1. Вторая производная функции имеет корни на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не всегда верно. Рассмотрим, например, функцию
2. Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b]:
- Это утверждение верно. Если производная функции имеет два корня на отрезке [a; b], то это значит, что производная меняет знак на этом отрезке. Следовательно, характер выпуклости функции должен меняться на данном отрезке. Например, если производная положительна на первой половине отрезка и отрицательна на второй половине, то функция будет выпуклой на первой половине и вогнутой на второй.
3. Функция имеет корни на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не зависит от дифференцируемости функции или количества корней производной. Для искомой функции это утверждение может быть как верным, так и неверным. Возможны ситуации, когда функция имеет корни на отрезке [a; b], и одновременно функция дифференцируема или не дифференцируема. Поэтому это утверждение не является ответом на задачу.
4. Характер монотонности функции меняется на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не всегда верно. Если производная функции имеет два корня на отрезке [a; b], то это значит, что производная меняет знак два раза, но это не означает, что сама функция будет менять свою монотонность. Например, для функции
Таким образом, решая данную задачу, единственным верным утверждением будет:
- Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b].
Знаешь ответ?