Выберите утверждения, относящиеся к функции, которая дважды дифференцируема на отрезке [a; b], и у которой производная

[Рисунок функции, хорошо заметное изменение]

Чтобы выбрать утверждения, относящиеся к функции, которая дважды дифференцируема на отрезке [a; b], и у которой производная имеет два корня, рассмотрим каждое утверждение по отдельности и сделаем обоснование:

1. Вторая производная функции имеет корни на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не всегда верно. Рассмотрим, например, функцию $f(x)=x^2$ на отрезке [0; 1]. У этой функции вторая производная равна 2, и она не имеет корней на данном отрезке. Таким образом, это утверждение не относится к искомой функции.

2. Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b]:
- Это утверждение верно. Если производная функции имеет два корня на отрезке [a; b], то это значит, что производная меняет знак на этом отрезке. Следовательно, характер выпуклости функции должен меняться на данном отрезке. Например, если производная положительна на первой половине отрезка и отрицательна на второй половине, то функция будет выпуклой на первой половине и вогнутой на второй.

3. Функция имеет корни на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не зависит от дифференцируемости функции или количества корней производной. Для искомой функции это утверждение может быть как верным, так и неверным. Возможны ситуации, когда функция имеет корни на отрезке [a; b], и одновременно функция дифференцируема или не дифференцируема. Поэтому это утверждение не является ответом на задачу.

4. Характер монотонности функции меняется на отрезке [a; b]:
- Это утверждение не всегда верно. Если производная функции имеет два корня на отрезке [a; b], то это значит, что производная меняет знак два раза, но это не означает, что сама функция будет менять свою монотонность. Например, для функции $f(x)=x^3$ на отрезке [-1; 1] производная равна $f"(x)=3x^2$, которая имеет два корня, но функция сама по себе монотонно возрастает на всем отрезке.

Таким образом, решая данную задачу, единственным верным утверждением будет:
- Характер выпуклости функции меняется на отрезке [a; b].