Вы должны подтвердить, что выражение √2013*2015*2017*2019+16 является целым числом

Чтобы подтвердить, что выражение \(\sqrt{2013 \cdot 2015 \cdot 2017 \cdot 2019} + 16\) является целым числом, мы должны разложить произведение под знаком квадратного корня на простые множители и проверить, является ли полученное число квадратом некоторого целого числа.

Давайте начнем с разложения чисел 2013, 2015, 2017 и 2019 на простые множители. Разложим их каждое число по очереди:

\(2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61\)

\(2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31\)

\(2017\) - простое число

\(2019 = 3 \cdot 673\)

Теперь, с помощью полученных разложений, разложим исходное выражение:

\(\sqrt{2013 \cdot 2015 \cdot 2017 \cdot 2019} + 16 = \sqrt{(3 \cdot 11 \cdot 61) \cdot (5 \cdot 13 \cdot 31) \cdot 2017 \cdot (3 \cdot 673)} + 16\)

Давайте упростим выражение под знаком квадратного корня:

\(\sqrt{3^2 \cdot 11 \cdot 2017 \cdot 5^2 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 3^2 \cdot 673} + 16\)

При этом, мы можем вынести квадраты из-под корня:

\(3 \cdot 5 \cdot \sqrt{11 \cdot 2017 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 673} + 16\)

Теперь, давайте посмотрим на полученное выражение внутри корня. Произведение чисел 11, 2017, 13, 31 и 673 - это произведение пяти простых чисел.

Чтобы выражение \(\sqrt{11 \cdot 2017 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 673}\) было целым числом, оно должно содержать пары всех простых чисел.

Рассмотрим каждое простое число отдельно:

11 - встречается только один раз

2017 - встречается только один раз

13 - встречается только один раз

31 - встречается только один раз

673 - встречается только один раз

Таким образом, полученное выражение \(\sqrt{11 \cdot 2017 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 673}\) содержит только однократные степени простых чисел, а это означает, что корень будет их полным квадратом.

Из этого следует, что исходное выражение \(\sqrt{2013 \cdot 2015 \cdot 2017 \cdot 2019} + 16\) будет являться целым числом, так как мы вынесли все квадраты из-под корня.

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что \(\sqrt{2013 \cdot 2015 \cdot 2017 \cdot 2019} + 16\) является целым числом.