Вводите ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Используйте точку или запятую в качестве разделителя

Для решения данной задачи нам потребуется использовать метод Гаусса-Грина, так как мы имеем замкнутую кривую и нужно найти площадь внутри неё.

Шаг 1: Подготовка к решению задачи
Для начала, давайте построим данную кривую на координатной плоскости. Подключите свою фантазию и нарисуйте отмеченные точки (1,0), (1,1), (2,4), (1,3), (0,5) и (0,2) на листе бумаги. Затем соедините точки последовательно линиями, чтобы получить многоугольник. Убедитесь, что многоугольник замкнутый.

Шаг 2: Разделение кривой на треугольники
Далее, давайте разобьём наш многоугольник на несколько треугольников, чтобы легче было вычислить их площади. Разбейте многоугольник на такое количество треугольников, чтобы на каждом треугольнике вершины были соединены с началом координат (0,0).

Шаг 3: Вычисление площади треугольников
Каждый треугольник можно рассматривать как треугольник, образованный двумя сторонами и точкой начала координат (0,0). Для вычисления площади треугольника по формуле \(S = \frac{{a \cdot b \cdot \sin C}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(C\) - угол между сторонами.

Давайте вычислим площадь каждого треугольника и сложим их для получения полной площади многоугольника.

Треугольник 1: (1,0), (1,1), (0,0)
Сторона a = расстояние между точками (1,0) и (1,1) = \(\sqrt{{(1-1)^2 + (1-0)^2}} = 1\)
Сторона b = расстояние между точками (1,1) и (0,0) = \(\sqrt{{(1-0)^2 + (1-0)^2}} = \sqrt{2}\)
Угол C = угол между сторонами a и b = 90 градусов (так как треугольник прямоугольный)
Площадь этого треугольника равна \(S_1 = \frac{{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin 90^\circ}}{2} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\)

Треугольник 2: (1,1), (2,4), (0,0)
Сторона a = расстояние между точками (1,1) и (2,4) = \(\sqrt{{(2-1)^2 + (4-1)^2}} = \sqrt{10}\)
Сторона b = расстояние между точками (2,4) и (0,0) = \(\sqrt{{(2-0)^2 + (4-0)^2}} = 2\sqrt{5}\)
Угол C = угол между сторонами a и b. Для нахождения угла между векторами, воспользуемся формулой: \(\cos C = \frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}}\)
\(\cos C = \frac{{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}}}{{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}}} = 1\)
Угол C = 0 градусов (так как \(\cos C = 1\))
Площадь этого треугольника равна \(S_2 = \frac{{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sin 0^\circ}}{2} = 0\)

Треугольник 3: (2,4), (1,3), (0,0)
Сторона a = расстояние между точками (2,4) и (1,3) = \(\sqrt{{(1-2)^2 + (3-4)^2}} = \sqrt{2}\)
Сторона b = расстояние между точками (1,3) и (0,0) = \(\sqrt{{(1-0)^2 + (3-0)^2}} = \sqrt{10}\)
Угол C = угол между сторонами a и b
\(\cos C = \frac{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}}{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}} = 1\)
Угол C = 0 градусов
Площадь этого треугольника равна \(S_3 = \frac{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 0^\circ}}{2} = 0\)

Треугольник 4: (1,3), (0,5), (0,0)
Сторона a = расстояние между точками (1,3) и (0,5) = \(\sqrt{{(0-1)^2 + (5-3)^2}} = \sqrt{5}\)
Сторона b = расстояние между точками (0,5) и (0,0) = \(\sqrt{{(0-0)^2 + (5-0)^2}} = 5\)
Угол C = угол между сторонами a и b
\(\cos C = \frac{{\sqrt{5} \cdot 5}}{{\sqrt{5} \cdot 5}} = 1\)
Угол C = 0 градусов
Площадь этого треугольника равна \(S_4 = \frac{{\sqrt{5} \cdot 5 \cdot \sin 0^\circ}}{2} = 0\)

Треугольник 5: (0,5), (0,2), (0,0)
Сторона a = расстояние между точками (0,5) и (0,2) = \(\sqrt{{(0-0)^2 + (2-5)^2}} = 3\)
Сторона b = расстояние между точками (0,2) и (0,0) = \(\sqrt{{(0-0)^2 + (2-0)^2}} = 2\)
Угол C = угол между сторонами a и b
\(\cos C = \frac{{3 \cdot 2}}{{3 \cdot 2}} = 1\)
Угол C = 0 градусов
Площадь этого треугольника равна \(S_5 = \frac{{3 \cdot 2 \cdot \sin 0^\circ}}{2} = 0\)

Шаг 4: Вычисление полной площади
Теперь, чтобы вычислить общую площадь многоугольника, мы просто должны сложить площадь каждого треугольника:
Полная площадь многоугольника равна \(S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = \frac{{\sqrt{2}}}{2} + 0 + 0 + 0 + 0 = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\).

Итак, площадь этого многоугольника составляет \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\).