Введите координаты вершин треугольника АВС: А(11, -2, -9), В(2, 6, -4), С(14, -2, -10). Найдите длину медианы

Чтобы найти длину медианы треугольника, нам нужно вычислить координаты середины стороны, с которой эта медиана соединяется.

Для начала, найдем координаты середины стороны AB. Чтобы найти середину, нужно взять среднее арифметическое каждой координаты вершин A и B.

Координаты середины стороны AB можно найти следующим образом:

\[(x_{\text{AB}}, y_{\text{AB}}, z_{\text{AB}}) = \left(\frac{{x_A+x_B}}{2}, \frac{{y_A+y_B}}{2}, \frac{{z_A+z_B}}{2}\right)\]

Подставим значения координат вершин A(11, -2, -9) и B(2, 6, -4):

\[(x_{\text{AB}}, y_{\text{AB}}, z_{\text{AB}}) = \left(\frac{{11+2}}{2}, \frac{{-2+6}}{2}, \frac{{-9-4}}{2}\right)\]

Выполним вычисления:

\[(x_{\text{AB}}, y_{\text{AB}}, z_{\text{AB}}) = \left(\frac{{13}}{2}, \frac{{4}}{2}, \frac{{-13}}{2}\right)\]

Упрощаем:

\[(x_{\text{AB}}, y_{\text{AB}}, z_{\text{AB}}) = \left(\frac{{13}}{2}, 2, -\frac{{13}}{2}\right)\]

Таким образом, координаты середины стороны AB равны (13/2, 2, -13/2).

Теперь найдем координаты середины стороны BC. Середина стороны BC может быть найдена аналогичным образом:

\[(x_{\text{BC}}, y_{\text{BC}}, z_{\text{BC}}) = \left(\frac{{x_B+x_C}}{2}, \frac{{y_B+y_C}}{2}, \frac{{z_B+z_C}}{2}\right)\]

Подставим значения координат вершин B(2, 6, -4) и C(14, -2, -10):

\[(x_{\text{BC}}, y_{\text{BC}}, z_{\text{BC}}) = \left(\frac{{2+14}}{2}, \frac{{6-2}}{2}, \frac{{-4-10}}{2}\right)\]

Выполним вычисления:

\[(x_{\text{BC}}, y_{\text{BC}}, z_{\text{BC}}) = \left(\frac{{16}}{2}, \frac{{4}}{2}, \frac{{-14}}{2}\right)\]

Упрощаем:

\[(x_{\text{BC}}, y_{\text{BC}}, z_{\text{BC}}) = \left(8, 2, -7\right)\]

Таким образом, координаты середины стороны BC равны (8, 2, -7).

Наконец, найдем координаты середины стороны AC. Проделаем аналогичные шаги:

\[(x_{\text{AC}}, y_{\text{AC}}, z_{\text{AC}}) = \left(\frac{{x_A+x_C}}{2}, \frac{{y_A+y_C}}{2}, \frac{{z_A+z_C}}{2}\right)\]

Подставим значения координат вершин A(11, -2, -9) и C(14, -2, -10):

\[(x_{\text{AC}}, y_{\text{AC}}, z_{\text{AC}}) = \left(\frac{{11+14}}{2}, \frac{{-2-2}}{2}, \frac{{-9-10}}{2}\right)\]

Выполним вычисления:

\[(x_{\text{AC}}, y_{\text{AC}}, z_{\text{AC}}) = \left(\frac{{25}}{2}, \frac{{-4}}{2}, \frac{{-19}}{2}\right)\]

Упрощаем:

\[(x_{\text{AC}}, y_{\text{AC}}, z_{\text{AC}}) = \left(\frac{{25}}{2}, -2, -\frac{{19}}{2}\right)\]

Таким образом, координаты середины стороны AC равны (25/2, -2, -19/2).

Теперь у нас есть координаты середин каждой из сторон треугольника. Чтобы найти медиану, которая соединяется с вершиной B, нужно соединить вершину B и середину стороны AC.

Аналогично, чтобы найти длину медианы, нужно использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}}\]

где (x1, y1, z1) - координаты вершины B, а (x2, y2, z2) - координаты середины стороны AC.

Подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{{(2-25/2)^2 + (6-(-2))^2 + (-4-(-19/2))^2}}\]

Выполним вычисления:

\[d = \sqrt{{\left(\frac{{-21}}{2}\right)^2 + 8^2 + \left(\frac{{-31}}{2}\right)^2}}\]

Упрощаем:

\[d = \sqrt{{\frac{{441}}{4} + 64 + \frac{{961}}{4}}}\]

\[d = \sqrt{{\frac{{441+256+961}}{4}}}\]

\[d = \sqrt{{\frac{{1658}}{4}}}\]

Упрощаем:

\[d = \sqrt{{414.5}}\]

Таким образом, длина медианы треугольника ABC, исходящей из вершины B, равна \(\sqrt{{414.5}}\), что примерно равно 20.36.