Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от второй прямой

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать свойства параллельных прямых.

Предположим, у нас есть две параллельные прямые, назовем их \(l_1\) и \(l_2\), и точка \(A\) находится на прямой \(l_1\), а точка \(B\) на прямой \(l_2\). Нам нужно доказать, что расстояние от точки \(A\) до прямой \(l_2\) равно расстоянию от точки \(B\) до прямой \(l_2\).

Чтобы начать доказательство, рассмотрим отрезок \(AB\), соединяющий точку \(A\) на прямой \(l_1\) и точку \(B\) на прямой \(l_2\). Поскольку прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны, отрезок \(AB\) перпендикулярен обеим прямым.

Теперь предположим, что у нас есть точка \(C\) на прямой \(l_2\) такая, что точка \(C\) не лежит на отрезке \(AB\). Тогда у нас есть два треугольника: треугольник \(ABC\) и треугольник \(ACB\).

Мы знаем, что отрезок \(AB\) перпендикулярен обеим прямым \(l_1\) и \(l_2\), поэтому угол \(ACB\) равен \(90^\circ\). Также мы знаем, что угол \(ABC\) также равен \(90^\circ\), поскольку отрезок \(AB\) перпендикулярен обеим прямым. Таким образом, оба треугольника \(ABC\) и \(ACB\) являются прямоугольными.

В прямоугольном треугольнике два катета и гипотенуза связаны между собой. В треугольнике \(ACB\) катетами являются отрезок \(CB\) и высота \(CD\), опущенная из точки \(C\) на прямую \(l_1\), а гипотенузой является отрезок \(AB\). В треугольнике \(ABC\) катетами являются отрезок \(AC\) и высота \(BD\), опущенная из точки \(B\) на прямую \(l_1\), а гипотенузой также является отрезок \(AB\).

Поскольку у треугольников \(ABC\) и \(ACB\) есть гипотенузы равной длины (отрезок \(AB\)) и у них одинаковые острые углы (\(90^\circ\)), то по свойству гипотенузы в прямоугольном треугольнике, катеты этих треугольников должны быть равны между собой.

Таким образом, расстояние от точки \(A\) до прямой \(l_2\) равно расстоянию от точки \(B\) до прямой \(l_2\), так как оно равно длине отрезка \(CB\), и расстояние от точки \(C\) до прямой \(l_2\) равно расстоянию от точки \(B\) до прямой \(l_2\), так как оно равно длине отрезка \(AC\).

Таким образом, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от второй прямой.