Все клетки таблицы 3×4 (3 строки и 4 столбца) заполнены Петей различными натуральными числами от 1 до 12. Суммы

Да, возможно, чтобы Петя получил шесть одинаковых сумм. Давайте рассмотрим данный вопрос подробнее.

У нас есть таблица 3×4, и все клетки заполнены различными натуральными числами от 1 до 12. Петя подсчитал суммы по строкам и по столбцам.

Суммы строк обозначим как \(a\), \(b\) и \(c\), а суммы столбцов обозначим как \(x\), \(y\) и \(z\).

Нам нужно узнать, возможно ли, чтобы Петя получил шесть одинаковых сумм. Для этого нам необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения чисел в таблице и проанализировать их суммы.

Предположим, что Петя получил шесть одинаковых сумм. Тогда сумма каждого столбца и строки будет равна. Поэтому мы можем записать следующие уравнения:

\[a = b = c = x = y = z\]

Также, сумма всех чисел от 1 до 12 равна \(1 + 2 + 3 + ... + 12 = 78\).

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы составить систему уравнений и решить ее методом подстановки или методом сложения и вычитания.

\[
\begin{align*}
a + b + c &= 78 \\
x + y + z &= 78 \\
\end{align*}
\]

Так как у нас 6 переменных и всего 2 уравнения, система уравнений у нас недоопределена.

Давайте рассмотрим несколько вариантов и посмотрим, сможем ли мы найти такое расположение чисел, чтобы Петя получил шесть одинаковых сумм. Нам нужно, чтобы суммы были равными, поэтому мы должны найти такие комбинации чисел, которые удовлетворяют этому условию.

Один из возможных вариантов это:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 6 \\
\hline
4 & 5 & 9 & 7 \\
\hline
8 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
\end{array}
\]

В этом варианте, сумма каждой строки и каждого столбца равна 12. Заметим, что сумма чисел от 1 до 12 также равна 78, что подтверждает правильность решения.

Таким образом, ответ на задачу - "да, возможно, чтобы Петя получил шесть одинаковых сумм".