Возможно ли одновременное выполнение уравнений: тангенс альфа равен корню из 7, деленному на 3, и косинус альфа равен

Конечно! Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрический круг и некоторые свойства тригонометрических функций.

Итак, у нас есть два уравнения:
\[\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{3}\]
\[\cos(\alpha) = \frac{3}{4}\]

Давайте начнем с уравнения \(\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Тангенс угла \(\alpha\) определяется как отношение противоположного катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Так как \(\tan(\alpha)\) положительный, это означает, что наш угол находится в первой или третьей четверти тригонометрического круга.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника:
\[\text{гипотенуза} = \sqrt{(\text{прилежащий катет})^2 + (\text{противоположный катет})^2}\]
\[\text{гипотенуза} = \sqrt{3^2 + \sqrt{7}^2}\]
\[\text{гипотенуза} = \sqrt{9 + 7}\]
\[\text{гипотенуза} = \sqrt{16}\]
\[\text{гипотенуза} = 4\]

Теперь мы можем использовать значения тригонометрических функций для нахождения остальных сторон треугольника. У нас есть:
\[\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{4}\]
\[\sin(\alpha) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Таким образом, мы нашли значения всех трех сторон нашего треугольника. Они равны:
\[\text{противоположный катет} = \sqrt{7}\]
\[\text{прилежащий катет} = 3\]
\[\text{гипотенуза} = 4\]

Таким образом, существует треугольник, у которого тангенс \(\alpha\) равен \(\frac{\sqrt{7}}{3}\) и косинус \(\alpha\) равен \(\frac{3}{4}\).