Вопрос заключается в том, за сколько минут все школьники выполнят работу по прополке огорода, находящегося

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть величина работы (прополка огорода) будет равна 1. Тогда мы можем выразить скорость работы каждого школьника в терминах работы в минуту.

Пусть \(V_1\) - скорость работы Васи, \(V_2\) - скорость работы Алины и \(V_3\) - скорость работы Николая.

Мы знаем, что Вася и Алина выполняют работу за 22 минуты. По формуле \(V_1 \cdot 22 + V_2 \cdot 22 = 1\) (поскольку их совместная работа должна завершиться с выполнением всей работы).

Также мы знаем, что Алина и Николай выполняют работу за 44 минуты. По аналогии, имеем \(V_2 \cdot 44 + V_3 \cdot 44 = 1\).

Наконец, Николай и Вася выполняют работу за 66 минут. Снова используем формулу и получаем \(V_3 \cdot 66 + V_1 \cdot 66 = 1\).

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Решим ее для нахождения скоростей работы каждого школьника.

Перепишем систему в матричной форме:

\[
\begin{{align*}}
22V_1 + 22V_2 &= 1 \tag{1} \\
44V_2 + 44V_3 &= 1 \tag{2} \\
66V_3 + 66V_1 &= 1 \tag{3} \\
\end{{align*}}
\]

Теперь найдем обратную матрицу системы:

\[
\begin{{bmatrix}}
22 & 22 & 0 \\
0 & 44 & 44 \\
66 & 0 & 66 \\
\end{{bmatrix}}^{-1}
\]

Решив эту систему уравнений методом обратной матрицы, получим:

\[
V_1 = \frac{{2}}{{99}}, \quad V_2 = \frac{{1}}{{99}}, \quad V_3 = \frac{{4}}{{99}}
\]

Теперь нам нужно найти общее время, за которое они выполнят эту работу все вместе. Обозначим это время как \(T\).

Работа выполняется по формуле \(V_1 \cdot T + V_2 \cdot T + V_3 \cdot T = 1\).

Подставляя значения скоростей работы, получаем:

\(\frac{{2}}{{99}} \cdot T + \frac{{1}}{{99}} \cdot T + \frac{{4}}{{99}} \cdot T = 1\).

Складывая коэффициенты при \(T\), получаем \(\frac{{7}}{{99}} \cdot T = 1\).

Делим обе части на \(\frac{{7}}{{99}}\) и находим \(T = \frac{{99}}{{7}}\).

Итак, общее время, за которое школьники выполнят работу все вместе, составит \(\frac{{99}}{{7}}\) минут.