Вопрос: Через какое время будет оставаться 25% исходного количества радиоактивных атомов, учитывая период полураспада

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для экспоненциального распада. Формула выглядит следующим образом:

\[ N = N_0 \times (1/2)^{\frac{t}{T}} \]

Где:
- N - текущее количество радиоактивных атомов
- N_0 - исходное количество радиоактивных атомов
- t - время, прошедшее с начала распада
- T - период полураспада

В данной задаче мы ищем время, через которое останется 25% исходного количества радиоактивных атомов. То есть, у нас есть следующие значения:

\[ N = 0.25 \times N_0 \]
\[ T = 1.5 \] часа

Подставим эти значения в формулу и найдем неизвестное значение времени:

\[ 0.25 \times N_0 = N_0 \times \left(1/2\right)^{\frac{t}{1.5}} \]

Теперь найдем общий множитель, чтобы упростить вычисления:

\[ \frac{0.25}{1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1.5}} \]

Один из способов решить это уравнение - взять логарифм от обеих сторон:

\[ \log\left(\frac{0.25}{1}\right) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1.5}}\right) \]

Используя свойство логарифма \( \log(a^n) = n \log(a) \), мы можем упростить уравнение:

\[ \log(0.25) = \frac{t}{1.5} \times \log\left(\frac{1}{2}\right) \]

Известно, что \( \log(0.25) = -1 \) и \( \log\left(\frac{1}{2}\right) = -0.301 \).

Подставим эти значения и найдем \( t \):

\[ -1 = -0.301 \times \frac{t}{1.5} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( t \):

\[ -1 = -0.301 \times \frac{t}{1.5} \Rightarrow t = -1 \times \frac{1.5}{-0.301} \]

Упростим это:

\[ t = \frac{1.5}{0.301} \approx 4.98 \] часа

Таким образом, останется 25% исходного количества радиоактивных атомов через около 4,98 часа.