Воду из сосуда, имеющего форму половины шара с радиусом а, можно вылить через отверстие в дне сосуда. Сколько времени

Конечно! Для определения времени, которое потребуется, чтобы вылить всю воду из шарового бака, мы должны интегрировать скорость истечения воды w по высоте h.

Дано:
Радиус шарового бака а = 49 см
Диаметр отверстия d = 3 см (радиус r = 1.5 см)
Эмпирический коэффициент μ = 0.8
Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с²

Для начала, нам нужно выразить скорость истечения воды w через переменную h, используя заданную формулу:
\[w = u \sqrt{2gh}\]

Теперь давайте выразим переменную h через радиус сферы a:
\[h = a - \sqrt{a^2 - r^2}\]

Подставим это выражение для h в формулу скорости истечения воды:
\[w = u \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})}\]

Теперь мы можем переходить к интеграции. Для начала рассмотрим малый элемент объема dV на высоте h:
\[dV = \pi r^2 dh\]

Интегрируем скорость истечения воды w по элементам объема dV от высоты 0 до высоты h, чтобы получить общий объем вытекающей воды V:
\[V = \int_{0}^{h} w \, dV\]

Подставим значение dV и w:
\[V = \int_{0}^{h} w \, \pi r^2 \, dh\]
\[V = \int_{0}^{h} u \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})} \, \pi r^2 \, dh\]

Теперь проинтегрируем по переменной h:
\[V = \pi r^2 \int_{0}^{h} u \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})} \, dh\]

Для удобства обозначим константу \(C = \pi u r^2 \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})}\). Тогда интеграл примет вид:
\[V = C \int_{0}^{h} dh\]

Интегрирование по переменной h просто даст нам значение h:
\[V = C(h - 0)\]

Теперь подставим обратно в выражение для h значение высоты h:
\[V = C(a - \sqrt{a^2 - r^2})\]

Таким образом, мы получили общий объем вытекающей воды V через высоту h. Чтобы найти время, необходимое для вылива воды, мы должны разделить общий объем V на скорость истечения w:
\[t = \frac{V}{w}\]
\[t = \frac{C(a - \sqrt{a^2 - r^2})}{u \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})}}\]

Теперь подставим значения констант и переменных:
\[t = \frac{\pi u r^2 \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})}(a - \sqrt{a^2 - r^2})}{u \sqrt{2g(a - \sqrt{a^2 - r^2})}}\]

Множители \(u\), \(\sqrt{2g}\), и \((a - \sqrt{a^2 - r^2})\) сокращаются в числителе и знаменателе, и мы получим:
\[t = \pi r^2 (a - \sqrt{a^2 - r^2})\]

Теперь мы можем подставить числовые значения:
\[t = \pi \cdot (1.5 \, \text{см})^2 \cdot (49 \, \text{см} - \sqrt{49^2 - (1.5 \, \text{см})^2})\]

Раскроем скобки:
\[t = \pi \cdot 2.25 \, \text{см}^2 \cdot (49 \, \text{см} - \sqrt{2401 - 2.25 \, \text{см}^2})\]

Вычислим корень:
\[t = \pi \cdot 2.25 \, \text{см}^2 \cdot (49 \, \text{см} - \sqrt{2401 - 5.0625 \, \text{см}^2})\]

\[t = \pi \cdot 2.25 \, \text{см}^2 \cdot (49 \, \text{см} - \sqrt{2395.9375 \, \text{см}^2})\]

\[t \approx \pi \cdot 2.25 \, \text{см}^2 \cdot (49 \, \text{см} - 48.949 \, \text{см})\]

\[t \approx \pi \cdot 2.25 \, \text{см}^2 \cdot 0.051 \, \text{см} \approx 0.362 \, \text{см}^3\]

Таким образом, время, необходимое для вылива всей воды из шарового бака с радиусом 49 см и диаметром отверстия 3 см, составляет примерно 0.362 секунды.